Distribución normal multivariante
En teoría de probabilidad y estadística , la distribución normal multivariante , la distribución gaussiana multivariante o la distribución normal conjunta es una generalización de la distribución normal unidimensional ( univariante ) a dimensiones superiores . Una definición es que se dice que un vector aleatorio tiene una distribución normal k -variable si cada combinación lineal de sus componentes k tiene una distribución normal univariante. Su importancia se deriva principalmente del teorema del límite central multivariado.. La distribución normal multivariante se utiliza a menudo para describir, al menos aproximadamente, cualquier conjunto de variables aleatorias de valor real (posiblemente) correlacionadas , cada una de las cuales se agrupa alrededor de un valor medio.
La distribución normal multivariante de un vector aleatorio k -dimensional se puede escribir en la siguiente notación:![{\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {k}) ^ {\ mathrm {T}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y matriz de covarianza
tal que La inversa de la matriz de covarianza se llama matriz de precisión , denotada por .![{\ Displaystyle 1 \ leq i, j \ leq k.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle {\ boldsymbol {Q}} = {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {- 1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un vector aleatorio real se denomina vector aleatorio normal estándar si todos sus componentes son independientes y cada uno es una variable aleatoria distribuida normalmente de varianza unitaria de media cero, es decir, si es para todos . [1] : pág. 454 ![{\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {k}) ^ {\ mathrm {T}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![X_ {n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle X_ {n} \ sim \ {\ mathcal {N}} (0,1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![norte](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
a: Densidad de probabilidad de una función de una sola variable normal con y .
b: Densidad de probabilidad de una función de un vector normal , con media y covarianza .
c: Mapa de calor de la densidad de probabilidad conjunta de dos funciones de un vector normal , con media y covarianza .
d: Densidad de probabilidad de una función de 4 iid variables normales estándar. Estos se calculan mediante el método numérico de trazado de rayos.
[15]![{\ Displaystyle \ cos x ^ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![X](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle \ mu = -2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle \ sigma = 3}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![x ^ y](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![(x, y)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} = (1,2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma} = {\ begin {bmatrix} .01 & .016 \\. 016 & .04 \ end {bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![(x, y)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} = (- 2,5)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma} = {\ begin {bmatrix} 10 y -7 \\ - 7 y 10 \ end {bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {4} \ vert x_ {i} \ vert}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)