Teorema de transitividad de Kadison

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En matemáticas , el teorema de la transitividad de Kadison es un resultado de la teoría de C * -álgebras que, en efecto, afirma la equivalencia de las nociones de irreductibilidad topológica e irreductibilidad algebraica de las representaciones de C * -álgebras. Implica que, para las representaciones irreductibles de C * -álgebras, el único subespacio invariante lineal distinto de cero es el espacio completo.

El teorema, demostrado por Richard Kadison , fue sorprendente, ya que a priori no hay razón para creer que todas las representaciones topológicamente irreductibles sean también algebraicamente irreductibles.

Se dice que una familia de operadores acotados en un espacio de Hilbert actúa topológicamente de manera irreductible cuando y son los únicos subespacios estables cerrados debajo . Se dice que la familia actúa algebraicamente de forma irreductible si y son las únicas variedades lineales en bajo estable .${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle \ {0 \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ {0 \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Teorema . ^[1] Si el álgebra C * actúa topológicamente de forma irreductible sobre el espacio de Hilbert es un conjunto de vectores y es un conjunto de vectores linealmente independientes en , hay un en tal que . Si se trata de un operador autoadjunto , se puede elegir que sea autoadjunto.${\ Displaystyle {\ mathfrak {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}, \ {y_ {1}, \ cdots, y_ {n} \}}$${\ Displaystyle \ {x_ {1}, \ cdots, x_ {n} \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {A}}}$${\ Displaystyle Ax_ {j} = y_ {j}}$${\ Displaystyle Bx_ {j} = y_ {j}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$

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