Representación irreducible

Type of group and algebra representation

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Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , específicamente en la teoría de representación de grupos y álgebras , una representación irreductible o irreparable de una estructura algebraica es una representación distinta de cero que no tiene una subrepresentación no trivial adecuada , con cerrado bajo la acción de .${\displaystyle (\rho ,V)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\rho |_{W},W)}$${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$

Toda representación unitaria de dimensión finita en un espacio de Hilbert es la suma directa de representaciones irreductibles. Como las representaciones irreductibles son siempre indecomponibles (es decir, no se pueden descomponer más en una suma directa de representaciones), lo contrario puede no ser válido, como la representación bidimensional de los números reales que actúan mediante matrices unipotentes triangulares superiores , que es indecomponible pero reducible.${\displaystyle V}$

Historia

La teoría de la representación de grupo fue generalizada por Richard Brauer a partir de la década de 1940 para dar una teoría de representación modular , en la que los operadores matriciales actúan sobre un espacio vectorial sobre un campo de característica arbitraria , en lugar de un espacio vectorial sobre el campo de números reales o sobre el campo de números complejos . La estructura análoga a una representación irreductible en la teoría resultante es un módulo simple . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle K}$

Resumen

Más información: Representación grupal

Sea una representación, es decir, un homomorfismo de un grupo donde hay un espacio vectorial sobre un campo . Si elegimos una base para , se puede pensar como una función (un homomorfismo) de un grupo en un conjunto de matrices invertibles y en este contexto se llama representación matricial . Sin embargo, simplifica mucho las cosas si pensamos en el espacio sin una base.${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle V}$

Un subespacio lineal se llama -invariante si para todos y para todos . La co-restricción de al grupo lineal general de un subespacio invariante se conoce como subrepresentación . Se dice que una representación es irreducible si solo tiene subrepresentaciones triviales (todas las representaciones pueden formar una subrepresentación con los subespacios invariantes triviales , por ejemplo, el espacio vectorial completo y {0} ). Si existe un subespacio invariante no trivial adecuado, se dice que es reducible .${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho (g)w\in W}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho }$

Notación y terminología de representaciones de grupo

Los elementos del grupo se pueden representar mediante matrices , aunque el término "representado" tiene un significado específico y preciso en este contexto. Una representación de un grupo es un mapeo de los elementos del grupo al grupo lineal general de matrices. Como notación, dejar que un , b , c ... elementos denotan de un grupo G con producto grupo significadas sin ningún símbolo, así que ab es el producto grupo de un y b y es también un elemento de G , y dejar representaciones ser indicado por D . La representación de a está escrita

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Por definición de representaciones de grupo, la representación de un producto de grupo se traduce en una multiplicación matricial de las representaciones:

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

Si e es el elemento de identidad del grupo (de modo que ae = ea = a , etc.), entonces D ( e ) es una matriz de identidad , o idénticamente una matriz de bloques de matrices de identidad, ya que debemos tener

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

y de manera similar para todos los demás elementos del grupo. Las dos últimas afirmaciones corresponden al requisito de que D es un homomorfismo de grupo .

Representaciones reducibles e irreductibles

Una representación es reducible si contiene un subespacio invariante G no trivial, es decir, todas las matrices se pueden poner en forma de bloque triangular superior por la misma matriz invertible . En otras palabras, si hay una transformación de similitud:${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

que mapea cada matriz en la representación en el mismo patrón de bloques triangulares superiores. Cada bloque menor de secuencia ordenada es una subrepresentación de grupo. Es decir, si la representación es de dimensión k, entonces tenemos:

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\\\end{pmatrix}},}$

donde es una subrepresentación no trivial. Si somos capaces de encontrar una matriz que también produzca, entonces no solo es reducible sino también descomponible.${\displaystyle D^{(11)}(a)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D^{(12)}(a)=0}$${\displaystyle D(a)}$

Aviso: Incluso si una representación es reducible, su representación matricial puede no ser la forma de bloque triangular superior. Solo tendrá esta forma si elegimos una base adecuada, que se puede obtener aplicando la matriz anterior a la base estándar.${\displaystyle P^{-1}}$

Representaciones descomponibles e indecomponibles

Una representación es descomponible si todas las matrices se pueden poner en forma de bloque diagonal por la misma matriz invertible . En otras palabras, si hay una transformación de similitud : ^[1]${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

que diagonaliza cada matriz en la representación en el mismo patrón de bloques diagonales . Cada uno de estos bloques es entonces una subrepresentación de grupo independiente de los demás. Se dice que las representaciones D ( a ) y D ′ ( a ) son representaciones equivalentes . ^[2] La representación se puede descomponer en una suma directa de k > 1 matrices :

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

por lo que D ( a ) es descomponible , y se acostumbra etiquetar las matrices descompuestas con un superíndice entre paréntesis, como en D ^{( n )} ( a ) para n = 1, 2, ..., k , aunque algunos autores simplemente escriben la etiqueta numérica sin paréntesis.

La dimensión de D ( a ) es la suma de las dimensiones de los bloques:

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].}$

Si esto no es posible, es decir, k = 1 , entonces la representación es indecomponible. ^{[1] [3]}

Aviso : incluso si una representación es descomponible, su representación matricial puede no ser la forma de bloque diagonal. Solo tendrá esta forma si elegimos una base adecuada, que se puede obtener aplicando la matriz anterior a la base estándar.${\displaystyle P^{-1}}$

Conexión entre representación irreductible y representación descomponible

Una representación irreductible es por naturaleza indescomponible. Sin embargo, lo contrario puede fallar.

Pero bajo algunas condiciones, tenemos una representación indecomponible que es una representación irreductible.

• Cuando el grupo es finito y tiene una representación sobre el campo , entonces una representación indecomponible es una representación irreductible. ^[4]${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Cuando el grupo es finito y tiene una representación sobre el campo , si la tenemos , entonces una representación indecomponible es una representación irreductible.${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$

Ejemplos de representaciones irreductibles

Representación trivial

Todos los grupos tienen una representación trivial unidimensional e irreducible.${\displaystyle G}$

Representación unidimensional

Cualquier representación unidimensional es irreductible en virtud ya que no tiene subespacios no triviales propios.

Representaciones complejas irreducibles

Las representaciones complejas irreductibles de un grupo finito G se pueden caracterizar utilizando los resultados de la teoría del carácter . En particular, todas estas representaciones se descomponen como una suma directa de irreps, y el número de irreps de es igual al número de clases de conjugación de . ^[5]${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

• Las representaciones irreducibles de complejos son exactamente dadas por los mapas , donde es un ª raíz de la unidad .${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle n}$
• Sea una representación compleja -dimensional de con base . Luego se descompone como una suma directa de los irreps.${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle V}$
  $${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$$
  y el subespacio ortogonal dado por
  $${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$$
  El primero es irrep es unidimensional e isomorfo a la representación trivial de . Este último es dimensional y se conoce como la representación estándar de . ^[5]${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle S_{n}}$
• Sea un grupo. La representación regular de es el espacio vectorial complejo libre sobre la base de la acción de grupo , denotado Todas las representaciones irreductibles de aparecen en la descomposición de como una suma directa de irreps.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$${\displaystyle \mathbb {C} G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} G}$

Ejemplo de representación irreductible sobre ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

• Sea un grupo y sea ​​una representación irreducible de dimensión finita de G sobre . Según el teorema del estabilizador de órbita, la órbita de cada elemento actuado por el grupo tiene un tamaño de potencia de . Dado que los tamaños de todas estas órbitas suman el tamaño de , y está en una órbita de tamaño 1 que solo se contiene a sí misma, debe haber otras órbitas de tamaño 1 para que la suma coincida. Es decir, existe alguna tal que para todos . Esto obliga a que toda representación irreductible de un grupo sea ​​unidimensional.${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle 0\in V}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle gv=v}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Aplicaciones en física teórica y química

Ver también: Simetría en mecánica cuántica , Simetría molecular y Efecto Jahn-Teller

En física cuántica y química cuántica , cada conjunto de estados propios degenerados del operador hamiltoniano comprende un espacio vectorial V para una representación del grupo de simetría del hamiltoniano, un "multiplete", mejor estudiado mediante la reducción a sus partes irreducibles. Identificar las representaciones irreductibles permite, por tanto, etiquetar los estados, predecir cómo se dividirán bajo perturbaciones; o la transición a otros estados en V . Así, en la mecánica cuántica, las representaciones irreductibles del grupo de simetría del sistema etiquetan parcial o completamente los niveles de energía del sistema, lo que permite determinar las reglas de selección .^[6]

Grupos de mentiras

Artículo principal: Teoría de representación de grupos de Lie

Grupo Lorentz

Artículo principal: Teoría de la representación del grupo de Lorentz

Las irreps de D ( K ) y D ( J ) , donde J es el generador de rotaciones y K el generador de refuerzos, se pueden usar para construir representaciones de espín del grupo de Lorentz, porque están relacionadas con las matrices de espín del cuántico. mecánica. Esto les permite derivar ecuaciones de onda relativistas . ^[7]

Ver también

Álgebras asociativas

• Módulo simple
• Módulo indecomponible
• Representación de un álgebra asociativa

Grupos de mentiras

• Teoría de la representación de las álgebras de Lie
• Teoría de la representación de SU (2)
• Teoría de representación de SL2 (R)
• Teoría de la representación del grupo galileo
• Teoría de la representación de grupos de difeomorfismo
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Teorema del mayor peso

Referencias

1. E. P. Wigner (1959). La teoría de grupos y su aplicación a la mecánica cuántica de los espectros atómicos . Física pura y aplicada. Prensa académica. pag. 73.
2. WK Tung (1985). Teoría de grupos en física . World Scientific. pag. 32. ISBN 978-997-1966-560.
3. WK Tung (1985). Teoría de grupos en física . World Scientific. pag. 33. ISBN 978-997-1966-560.
4. Artin, Michael (2ª ed.). Álgebra . Pearson. pag. 295. ISBN 978-0132413770.
5. Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90190-9.
6. "Un diccionario de química, Answers.com" (6ª ed.). Diccionario Oxford de Química.
7. T. Jaroszewicz; PS Kurzepa (1992). "Geometría de la propagación espaciotemporal de partículas giratorias". Annals of Physics . 216 (2): 226–267. Código Bibliográfico : 1992AnPhy.216..226J . doi : 10.1016 / 0003-4916 (92) 90176-M .

Libros

• H. Weyl (1950). La teoría de grupos y la mecánica cuántica . Publicaciones de Courier Dover. pag. 203 . ISBN 978-0-486-60269-1. momentos magnéticos en la mecánica cuántica relativista.
• PR Bunker; Per Jensen (2004). Fundamentos de la simetría molecular . Prensa CRC. ISBN 0-7503-0941-5.[1]
• AD Boardman; DE O'Conner; PA Young (1973). Simetría y sus aplicaciones en ciencia . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (2007). Teoría de grupos en mecánica cuántica: una introducción a su uso actual . Dover. ISBN 978-0-07-084011-9.
• V. Heine (1993). Teoría de grupos en mecánica cuántica: una introducción a su uso actual . Publicaciones de Courier Dover. ISBN 978-048-6675-855.

• E. Abers (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley. pag. 425. ISBN 978-0-13-146100-0.
• BR Martin, G.Shaw. Física de partículas (3ª ed.). Serie de física de Manchester, John Wiley & Sons. pag. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
• Weinberg, S. (1995), The Quantum Theory of Fields , 1 , Cambridge University Press, págs.  230-231 , ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, S. (1996), La teoría cuántica de los campos , 2 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4
• Weinberg, S. (2000), La teoría cuántica de los campos , 3 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66000-6
• R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
• PW Atkins (1970). Mecánica cuántica molecular (partes 1 y 2): una introducción a la química cuántica . 1 . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 125-126. ISBN 978-0-19-855129-4.

Artículos

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• E. Wigner (1937). "Sobre las representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo" (PDF) . Annals of Mathematics . 40 (1): 149-204. Código bibliográfico : 1939AnMat..40..149W . doi : 10.2307 / 1968551 . JSTOR  1968551 . Señor  1503456 .

Lectura adicional

• Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) . Capítulo V.

Enlaces externos

• "Comisión de Cristalografía Matemática y Teórica, Escuelas de Verano en Cristalografía Matemática" (PDF) . 2010.
• van Beveren, Eef (2012). "Algunas notas sobre teoría de grupos" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de mayo de 2011 . Consultado el 7 de julio de 2013 .
• Teleman, Constantin (2005). "Teoría de la representación" (PDF) .
• Finley. "Algunas notas sobre cuadros jóvenes como útiles para irreps de su (n)" (PDF) .^{[ enlace muerto permanente ]}
• Caza (2008). "Etiquetas de simetría de representación irreductible (IR)" (PDF) .
• Dermisek, Radovan (2008). "Representaciones del Grupo Lorentz" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de noviembre de 2018 . Consultado el 7 de julio de 2013 .
• Maciejko, Joseph (2007). "Representaciones de los grupos de Lorentz y Poincaré" (PDF) .
• Woit, Peter (2015). "Mecánica cuántica para matemáticos: representaciones del grupo de Lorentz" (PDF) ., consulte el capítulo 40
• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Gremio, David; Turetsky, Emma (2009). "Representaciones del grupo de simetría del espacio-tiempo" (PDF) .
• Finley. "Álgebra de mentiras para los grupos de Poincaré y Lorentz" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de junio de 2012.
• Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). "Las representaciones unitarias del grupo de Poincaré en cualquier dimensión espaciotemporal". arXiv : hep-th / 0611263 .
• "Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos" .