Conjetura de Kemnitz

Cada conjunto de puntos de celosía en el plano tiene un gran subconjunto con centroide un punto de celosía

En la teoría de números aditivos , la conjetura de Kemnitz establece que cada conjunto de puntos de la red en el plano tiene un gran subconjunto cuyo centroide es también un punto de la red. Fue probado de forma independiente en el otoño de 2003 por Christian Reiher , entonces estudiante de pregrado, y Carlos di Fiore, entonces estudiante de secundaria. ^[1]

La formulación exacta de esta conjetura es la siguiente:

Sea un número natural y un conjunto de puntos de celosía en el plano. Entonces existe un subconjunto con puntos tales que el centroide de todos los puntos desde también es un punto de celosía.${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 4n-3}$${\displaystyle S_{1}\subseteq S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{1}}$

La conjetura de Kemnitz fue formulada en 1983 por Arnfried Kemnitz ^[2] como una generalización del teorema de Erdős-Ginzburg-Ziv , un resultado unidimensional análogo que establece que cada entero tiene un subconjunto de tamaño cuyo promedio es un entero. ^[3] En 2000, Lajos Rónyai demostró una forma debilitada de la conjetura de Kemnitz para conjuntos con puntos de celosía. ^[4] Luego, en 2003, Christian Reiher demostró la conjetura completa utilizando el teorema de Chevalley-Warning . ^[5]${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 4n-2}$

Referencias

1. Savchev, S .; Chen, F. (2005). "Conjetura de Kemnitz 'revisada" . Matemáticas discretas . 297 (1-3): 196-201. doi : 10.1016 / j.disc.2005.02.018 .
2. Kemnitz, A. (1983). "En un problema de punto de celosía". Ars Combinatoria . 16b : 151–160.
3. Erdős, P .; Ginzburg, A .; Ziv, A. (1961). "Teorema en teoría aditiva de números". Toro. Consejo de Investigación de Israel . 10F : 41–43.
4. Rónyai, L. (2000). "Sobre una conjetura de Kemnitz". Combinatorica . 20 (4): 569–573. doi : 10.1007 / s004930070008 .
5. Reiher, cap. (2007). "Sobre la conjetura de Kemnitz sobre puntos de celosía en el plano". El diario Ramanujan . 13 : 333–337. arXiv : 1603.06161 . doi : 10.1007 / s11139-006-0256-y .

Otras lecturas

• Gao, WD; Thangadurai, R. (2004). "Una variante de la conjetura de Kemnitz" . Revista de teoría combinatoria . Serie A. 107 (1): 69–86. doi : 10.1016 / j.jcta.2004.03.009 .