Centroide

Posición media ("media") de todos los puntos de una forma

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Centroide de un triángulo

En matemáticas y física , el centroide o centro geométrico de una figura plana es la posición media aritmética de todos los puntos de la figura. De manera informal, es el punto en el que un recorte de la forma podría equilibrarse perfectamente en la punta de un alfiler. ^[1]

La definición se extiende a cualquier objeto en n - dimensional espacio : su centroide es la posición media de todos los puntos en todas las direcciones de coordenadas. ^[2]

Mientras que en geometría la palabra baricentro es sinónimo de centroide , en astrofísica y astronomía , el baricentro es el centro de masa de dos o más cuerpos que orbitan entre sí. En física , el centro de masa es la media aritmética de todos los puntos ponderados por la densidad local o el peso específico . Si un objeto físico tiene densidad uniforme, su centro de masa es el mismo que el centroide de su forma.

En geografía , el centroide de una proyección radial de una región de la superficie de la Tierra al nivel del mar es el centro geográfico de la región .

Historia

El término "centroide" es de acuñación reciente (1814). ^{[ cita requerida ]} Se utiliza como sustituto de los términos más antiguos " centro de gravedad " y " centro de masa ", cuando se deben enfatizar los aspectos puramente geométricos de ese punto. El término es peculiar del idioma inglés. Los franceses usan " centre de gravité " en la mayoría de las ocasiones, y otros usan términos de significado similar.

El centro de gravedad, como su nombre lo indica, es una noción que surgió en la mecánica, muy probablemente en relación con las actividades de construcción. No se sabe cuándo, dónde y quién lo inventó, ya que es un concepto que probablemente se le ocurrió a muchas personas individualmente con pequeñas diferencias.

Si bien Arquímedes no establece esa proposición explícitamente, hace referencias indirectas a ella, lo que sugiere que estaba familiarizado con ella. Sin embargo, Jean-Étienne Montucla (1725-1799), autor de la primera historia de las matemáticas (1758), declara categóricamente (vol. I, p. 463) que el centro de gravedad de los sólidos es un tema que Arquímedes no tocó.

En 1802 Charles Bossut (1730-1813) publicó un Essai sur l'histoire générale des mathématiques en dos volúmenes. Este libro fue muy estimado por sus contemporáneos, a juzgar por el hecho de que dos años después de su publicación ya estaba disponible en traducción en italiano (1802-03), inglés (1803) y alemán (1804). Bossut le da crédito a Arquímedes por haber encontrado el centroide de figuras planas, pero no tiene nada que decir sobre los sólidos. ^[3]

Si bien es posible que Euclides todavía estuviera activo en Alejandría durante la infancia de Arquímedes (287-212 a. C.), es seguro que cuando Arquímedes visitó Alejandría , Euclides ya no estaba allí. Así, Arquímedes no pudo haber aprendido el teorema de que las medianas de un triángulo se encuentran en un punto —el centro de gravedad del triángulo— directamente de Euclides, ya que esta proposición no está en los Elementos de Euclides . La primera declaración explícita de esta proposición se debe a Garza de Alejandría (quizás el siglo I d.C.) y aparece en su Mecánica. Puede agregarse, de paso, que la proposición no se hizo común en los libros de texto sobre geometría plana hasta el siglo XIX.

Propiedades

El centroide geométrico de un objeto convexo siempre se encuentra en el objeto. Un objeto no convexo puede tener un centroide fuera de la figura. El centroide de un anillo o un cuenco , por ejemplo, se encuentra en el vacío central del objeto.

Si el centroide está definido, es un punto fijo de todas las isometrías en su grupo de simetría . En particular, el centroide geométrico de un objeto se encuentra en la intersección de todos sus hiperplanos de simetría . El centroide de muchas figuras ( polígono regular , poliedro regular , cilindro , rectángulo , rombo , círculo , esfera , elipse , elipsoide , superelipse , superelipsoide , etc.) puede determinarse únicamente mediante este principio.

En particular, el centroide de un paralelogramo es el punto de encuentro de sus dos diagonales . Esto no es cierto para otros cuadriláteros .

Por la misma razón, el centroide de un objeto con simetría de traslación no está definido (o se encuentra fuera del espacio circundante), porque una traslación no tiene un punto fijo.

Ejemplos

El centroide de un triángulo es la intersección de las tres medianas del triángulo (cada mediana conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto). ^[4]

Para conocer otras propiedades del centroide de un triángulo, consulte a continuación .

Localizando

Método de plomada

El centroide de una lámina plana uniformemente densa , como en la figura (a) a continuación, se puede determinar experimentalmente utilizando una plomada.y un alfiler para encontrar el centro de masa colocado de un cuerpo delgado de densidad uniforme que tiene la misma forma. El cuerpo es sostenido por el pasador, insertado en un punto, fuera del presunto centroide de tal manera que puede girar libremente alrededor del pasador; luego, la plomada se suelta del pasador (figura b). La posición de la plomada se traza en la superficie y el procedimiento se repite con la clavija insertada en cualquier punto diferente (o en varios puntos) fuera del centroide del objeto. El único punto de intersección de estas líneas será el centroide (figura c). Siempre que el cuerpo sea de densidad uniforme, todas las líneas hechas de esta manera incluirán el centroide y todas las líneas se cruzarán exactamente en el mismo lugar.

(a)	(B)	(C)

Este método se puede extender (en teoría) a formas cóncavas donde el centroide puede estar fuera de la forma, y ​​virtualmente a sólidos (nuevamente, de densidad uniforme), donde el centroide puede estar dentro del cuerpo. Las posiciones (virtuales) de las plomadas deben registrarse por otros medios que no sean dibujándolas a lo largo de la forma.

Método de equilibrio

Para formas bidimensionales convexas, el centroide se puede encontrar equilibrando la forma en una forma más pequeña, como la parte superior de un cilindro estrecho. El centroide ocurre en algún lugar dentro del rango de contacto entre las dos formas (y exactamente en el punto donde la forma se equilibraría en un alfiler). En principio, se pueden usar cilindros progresivamente más estrechos para encontrar el centroide con precisión arbitraria. En la práctica, las corrientes de aire lo hacen inviable. Sin embargo, al marcar el rango de superposición de múltiples balances, se puede lograr un nivel considerable de precisión.

De un conjunto finito de puntos

El centroide de un conjunto finito de puntos en es${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}}$. ^[2]

Este punto minimiza la suma de las distancias euclidianas al cuadrado entre él y cada punto del conjunto.

Por descomposición geométrica

El centroide de una figura plana se puede calcular dividiéndolo en un número finito de figuras más simples , calculando el centroide y el área de cada parte, y luego calculando${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum C_{i_{x}}A_{i}}{\sum A_{i}}},C_{y}={\frac {\sum C_{i_{y}}A_{i}}{\sum A_{i}}}}$

Los agujeros en la figura , las superposiciones entre las partes o las partes que se extienden fuera de la figura se pueden manejar utilizando áreas negativas . Es decir, las medidas deben tomarse con signos positivos y negativos de tal manera que la suma de los signos de para todas las partes que encierran un punto dado sea ​​1 si pertenece a y 0 en caso contrario.${\displaystyle X}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

Por ejemplo, la figura siguiente (a) se divide fácilmente en un cuadrado y un triángulo, ambos con área positiva; y un agujero circular, con área negativa (b).

(b) Objeto descrito usando elementos más simples

(c) Centroides de elementos del objeto

El centroide de cada parte se puede encontrar en cualquier lista de centroides de formas simples (c). Entonces, el centroide de la figura es el promedio ponderado de los tres puntos. La posición horizontal del centroide, desde el borde izquierdo de la figura es

${\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi 2.5^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2.5^{2}}}\approx 8.5{\mbox{ units}}.}$

La posición vertical del centroide se encuentra de la misma manera.

La misma fórmula es válida para cualquier objeto tridimensional, excepto que cada uno debe ser el volumen de , en lugar de su área. También es válido para cualquier subconjunto de , para cualquier dimensión , con las áreas reemplazadas por las medidas dimensionales de las partes.${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

Por fórmula integral

El centroide de un subconjunto X de también se puede calcular mediante la integral${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\;dx}{\int g(x)\;dx}}}$

donde las integrales se toman sobre todo el espacio , y g es la función característica del subconjunto, que es 1 dentro de X y 0 fuera de él. ^[5] Obsérvese que el denominador es simplemente la medida del conjunto X . Esta fórmula no se puede aplicar si el conjunto X tiene medida cero o si alguna integral diverge.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Otra fórmula para el centroide es

${\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\;dz}{\int g(x)\;dx}}}$

donde C _k es la k- ésima coordenada de C , y S _k ( z ) es la medida de la intersección de X con el hiperplano definido por la ecuación x _k = z . Una vez más, el denominador es simplemente la medida de X .

Para una figura plana, en particular, las coordenadas del baricentro son

${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\;dx}{A}}}$

${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\;dy}{A}}}$

donde A es el área de la figura X ; S _y ( x ) es la longitud de la intersección de X con la línea vertical en la abscisa x ; y S _x ( y ) es la cantidad análoga para los ejes intercambiados.

De una región delimitada

El centroide de una región limitada por las gráficas de las funciones continuas y de tal manera que en el intervalo de , , viene dada por${\displaystyle ({\bar {x}},\;{\bar {y}})}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a\leq x\leq b}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x[f(x)-g(x)]\;dx}$^[5]

${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}\left[{\frac {f(x)+g(x)}{2}}\right][f(x)-g(x)]\;dx,}$^[6]

donde es el área de la región (dada por ). ^{[7] [8]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\;dx}$

De un objeto en forma de L

Este es un método para determinar el centroide de un objeto en forma de L.

1. Divida la forma en dos rectángulos, como se muestra en la figura 2. Encuentre los centroides de estos dos rectángulos dibujando las diagonales. Dibuja una línea que une los centroides. El centroide de la forma debe estar en esta línea AB.
2. Divida la forma en otros dos rectángulos, como se muestra en la figura 3. Encuentre los centroides de estos dos rectángulos dibujando las diagonales. Dibuja una línea que une los centroides. El centroide de la forma de L debe estar en esta línea CD.
3. Como el centroide de la forma debe estar a lo largo de AB y también a lo largo de CD, debe estar en la intersección de estas dos líneas, en O. El punto O puede estar dentro o fuera del objeto en forma de L.

De un triangulo

El centroide de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas (las líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto). ^[4] El centroide divide cada una de las medianas en una proporción de 2: 1, es decir, se ubica a ⅓ de la distancia de cada lado al vértice opuesto (ver figuras a la derecha). ^{[9] [10]} Sus coordenadas cartesianas son las medias de las coordenadas de los tres vértices. Es decir, si los tres vértices son y luego el centroide (denotado C aquí pero más comúnmente denotado G en geometría triangular${\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),}$ ${\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),}$${\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),}$) es

${\displaystyle C={\frac {1}{3}}(L+M+N)=\left({\frac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),\;\;{\frac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N})\right).}$

Por lo tanto, el centroide está en coordenadas baricéntricas .${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$

En coordenadas trilineales, el centroide se puede expresar en cualquiera de estas formas equivalentes en términos de las longitudes de los lados a, b, cy los ángulos de vértice L, M, N : ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\[6pt]&=\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M.\end{aligned}}}$

El centroide es también el centro físico de masa si el triángulo está hecho de una hoja uniforme de material; o si toda la masa se concentra en los tres vértices y se divide uniformemente entre ellos. Por otro lado, si la masa se distribuye a lo largo del perímetro del triángulo, con densidad lineal uniforme , entonces el centro de masa se encuentra en el centro de Spieker (el incentro del triángulo medial ), que no coincide (en general) con la geometría. centroide del triángulo completo.

El área del triángulo es 1.5 veces la longitud de cualquier lado multiplicada por la distancia perpendicular desde el lado al centroide. ^[12]

El centroide de un triángulo se encuentra en su línea de Euler entre su ortocentro H y su circuncentro O , exactamente dos veces más cerca de este último que del primero:

${\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}$^{[13] [14]}

Además, para el incentro I y el centro de nueve puntos N , tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}}\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}}\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}}\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}}\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}\end{aligned}}}$

Si G es el centroide del triángulo ABC, entonces:

${\displaystyle \displaystyle ({\text{Area of }}\triangle \mathrm {ABG} )=({\text{Area of }}\triangle \mathrm {ACG} )=({\text{Area of }}\triangle \mathrm {BCG} )={\frac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle \mathrm {ABC} )}$

El conjugado isogonal del centroide de un triángulo es su punto simmediano .

Cualquiera de las tres medianas a través del centroide divide el área del triángulo por la mitad. Esto no es cierto para otras líneas que atraviesan el centroide; la mayor desviación de la división de áreas iguales ocurre cuando una línea que atraviesa el centroide es paralela a un lado del triángulo, creando un triángulo más pequeño y un trapezoide ; en este caso, el área del trapezoide es 5/9 del triángulo original. ^[15]

Deje que P sea cualquier punto en el plano de un triángulo con vértices A, B, y C y centroide G . Entonces, la suma de las distancias al cuadrado de P desde los tres vértices excede la suma de las distancias al cuadrado del centroide G desde los vértices por tres veces la distancia al cuadrado entre P y G :

${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}$^[dieciséis]

La suma de los cuadrados de los lados del triángulo es igual a tres veces la suma de las distancias al cuadrado del centroide desde los vértices:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$^[dieciséis]

El centroide de un triángulo es el punto que maximiza el producto de las distancias dirigidas de un punto desde las líneas laterales del triángulo. ^[17]

Sea ABC un triángulo, sea G su centroide y sean D , E y F los puntos medios de BC , CA y AB , respectivamente. Para cualquier punto P en el plano de ABC entonces

${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$^[18]

De un polígono

El centroide de un polígono cerrado que no se interseca a sí mismo definido por n vértices ( x ₀ , y ₀ ), ( x ₁ , y ₁ ), ..., ( x _{n −1} , y _{n −1} ) es el punto ( C _x , C _y ), ^[19] donde

${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$ y

${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$

y donde A es el área con signo del polígono, ^[19] como se describe en la fórmula de los cordones :

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}$

En estas fórmulas, se supone que los vértices están numerados en el orden de aparición a lo largo del perímetro del polígono; además, se supone que el vértice ( x _n , y _n ) es el mismo que ( x ₀ , y ₀ ), lo que significa que en el último caso debe circular hacia . (Si los puntos están numerados en el sentido de las agujas del reloj, el área A , calculada como se indicó anteriormente, será negativa; sin embargo, las coordenadas del centroide serán correctas incluso en este caso).${\displaystyle i+1}$${\displaystyle i=0}$

De un cono o pirámide

El centroide de un cono o pirámide se encuentra en el segmento de línea que conecta el vértice con el centroide de la base. Para un cono sólido o una pirámide, el centroide es 1/4 de la distancia desde la base hasta el vértice. Para un cono o pirámide que es solo un caparazón (hueco) sin base, el centroide es 1/3 de la distancia desde el plano base hasta el vértice.

De un tetraedro y un simplex n- dimensional

Un tetraedro es un objeto en un espacio tridimensional que tiene cuatro triángulos como caras . Un segmento de línea que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana , y un segmento de línea que une los puntos medios de dos bordes opuestos se llama bimediano . Por tanto, hay cuatro medianas y tres bimedianas. Estos siete segmentos de línea se encuentran todos en el centroide del tetraedro. ^[20] Las medianas se dividen por el centroide en una proporción de 3: 1. El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto Monge y el circuncentro (centro de la esfera circunscrita). Estos tres puntos definen elLínea de Euler del tetraedro que es análoga a la línea de Euler de un triángulo.

Estos resultados se generalizan a cualquier simplex n- dimensional de la siguiente manera. Si el conjunto de vértices de un simplex es , entonces considerando los vértices como vectores , el centroide es${\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}}}$

${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}$

El centroide geométrico coincide con el centro de masa si la masa se distribuye uniformemente sobre todo el símplex, o se concentra en los vértices como n + 1 masas iguales.

De un hemisferio

El centroide de un hemisferio sólido (es decir, la mitad de una bola sólida) divide el segmento de línea que conecta el centro de la esfera con el polo del hemisferio en una proporción de 3: 5 (es decir, se encuentra a 3/8 del camino desde el centro al polo). El centroide de un hemisferio hueco (es decir, la mitad de una esfera hueca) divide el segmento de línea que conecta el centro de la esfera con el polo del hemisferio por la mitad.

Ver también

• Centro Chebyshev
• Fréchet significa
• k- significa algoritmo
• Lista de centroides
• Ubicando el centro de masa
• Medoide
• Teorema del centroide de Pappus
• Centroide espectral
• Centro triangular

Notas

1. Protter y Morrey, Jr. (1970 , p. 521)
2. Protter y Morrey, Jr. (1970 , p. 520)
3. Corte, Nathan Altshiller (1960). "Notas sobre el centroide". El profesor de matemáticas . 53 (1): 33–35. doi : 10.5951 / MT.53.1.0033 . JSTOR  27956057 .
4. Altshiller-Court (1925 , p. 66)
5. Protter y Morrey, Jr. (1970 , p. 526)
6. Protter y Morrey, Jr. (1970 , p. 527)
7. Protter y Morrey, Jr. (1970 , p. 528)
8. Larson (1998 , págs. 458–460)
9. Altshiller-Court (1925 , p. 65)
10. Kay (1969 , p. 184)
11. Enciclopedia de triángulos de Clark Kimberling "Enciclopedia de centros de triángulo" . Archivado desde el original el 19 de abril de 2012 . Consultado el 2 de junio de 2012 .
12. Johnson (2007 , p. 173)
13. Altshiller-Court (1925 , p. 101)
14. Kay (1969 , págs. 18,189,225–226)
15. Bottomley, Henry. "Medianas y bisectrices de área de un triángulo" . Consultado el 27 de septiembre de 2013 .
16. Altshiller-Court (1925 , págs. 70–71)
17. Kimberling, Clark (201). "Desigualdades de distancia trilineales para el punto simmediano, el centroide y otros centros del triángulo" . Foro Geometricorum . 10 : 135-139.
18. Gerald A. Edgar, Daniel H. Ullman y Douglas B. West (2018) Problemas y soluciones, The American Mathematical Monthly, 125: 1, 81-89, DOI: 10.1080 / 00029890.2018.1397465
19. Bourke (1997)
20. Leung, Kam-tim; y Suen, Suk-nam; "Vectores, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, págs. 53–54

Referencias

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2a ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  52013504
• Bourke, Paul (julio de 1997). "Cálculo del área y centroide de un polígono" .
• Johnson, Roger A. (2007), geometría euclidiana avanzada , Dover
• Kay, David C. (1969), College Geometry , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN  69012075
• Larson, Roland E .; Hostetler, Robert P .; Edwards, Bruce H. (1998), Cálculo de una sola variable (6a ed.), Houghton Mifflin Company
• Protter, Murray H .; Morrey, Jr., Charles B. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN  76087042

Enlaces externos

• Enciclopedia de centros triangulares por Clark Kimberling. El centroide está indexado como X (2).
• Propiedad característica del centroide en el corte del nudo
• Coordenadas baricéntricas en el corte del nudo
• Animaciones interactivas que muestran el centroide de un triángulo y la construcción del centroide con brújula y regla
• Encontrar experimentalmente las medianas y el centroide de un triángulo en Dynamic Geometry Sketches , un boceto interactivo de geometría dinámica que utiliza el simulador de gravedad de Cenicienta.