La conjetura de Khabibullin sobre las desigualdades integrales

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En matemáticas, la conjetura de Khabibullin , llamada así por BN Khabibullin , está relacionada con el problema de Paley ^[1] para funciones plurisubarmónicas y con varios problemas extremos en la teoría de funciones completas de varias variables.

Conjetura de Khabibullin (versión 1, 1992). Sea una función creciente no negativa en la media línea tal que . Suponga que es una función convexa de . Deje , y . Si${\ Displaystyle \ Displaystyle S}$${\ Displaystyle [0, + \ infty)}$${\ Displaystyle \ Displaystyle S (0) = 0}$${\ Displaystyle \ Displaystyle S (e ^ {x})}$${\ Displaystyle x \ in [- \ infty, + \ infty)}$${\ Displaystyle \ lambda \ geq 1/2}$${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

Tenga en cuenta que el producto en el lado derecho de la desigualdad ( 2 ) está relacionado con la función Beta de Euler :${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$

Para cada fijo la función${\ Displaystyle \ lambda \ geq 1/2}$

La conjetura de Khabibullin es válida sin el supuesto de convexidad de . Mientras tanto, se puede demostrar que esta conjetura no es válida sin algunas condiciones de convexidad para . En 2010, RA Sharipov demostró que la conjetura falla en el caso y para . ^[3]${\ Displaystyle \ lambda \ leq 1}$${\ Displaystyle S (e ^ {x})}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle n = 2}$${\ Displaystyle \ lambda = 2}$

Conjetura de Khabibullin (versión 2). Sea una función creciente no negativa en la media línea y . Si${\ Displaystyle \ Displaystyle h}$${\ Displaystyle [0, + \ infty)}$${\ Displaystyle \ alpha> 1/2}$

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