La función beta también está estrechamente relacionada con los coeficientes binomiales . Cuando x y y son enteros positivos, se deduce de la definición de la función gamma Γ que [2]
Relación con la función gamma
Una simple derivación de la relación se puede encontrar en el libro de Emil Artin The Gamma Function , páginas 18-19. [3] Para derivar esta relación, escribe el producto de dos factoriales como
Cambiar las variables por u = zt y v = z (1 - t ) produce
Dividiendo ambos lados por da el resultado deseado.
La identidad declarada puede verse como un caso particular de la identidad para la integral de una convolución . Tomando
para x grande y y grande . Si, por otro lado, x es grande e y es fijo, entonces
Otras identidades y fórmulas
La integral que define la función beta se puede reescribir de varias formas, incluidas las siguientes:
donde en la última identidad n es cualquier número real positivo. (Se puede pasar de la primera integral a la segunda sustituyendo .)
La función beta se puede escribir como una suma infinita
[ dudoso - discutir ]
y como un producto infinito
La función beta satisface varias identidades análogas a las identidades correspondientes para los coeficientes binomiales, incluida una versión de la identidad de Pascal.
Tomando en esta última fórmula, se puede concluir en particular que Γ (1/2) = √ π . También se puede generalizar la última fórmula en una identidad bivariada para un producto de funciones beta:
La integral de Euler para la función beta se puede convertir en una integral sobre el contorno C de Pochhammer como
Esta integral de contorno de Pochhammer converge para todos los valores de α y β y, por lo tanto, da la continuación analítica de la función beta.
Así como la función gamma para números enteros describe factoriales , la función beta puede definir un coeficiente binomial después de ajustar índices:
Además, para el entero n , Β se puede factorizar para obtener una función de interpolación de forma cerrada para valores continuos de k :
La función beta incompleta , una generalización de la función beta, se define como
Para x = 1 , la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación entre las dos funciones es similar a la que existe entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta .
La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) se define en términos de la función beta incompleta y la función beta completa:
La función beta incompleta regularizada es la función de distribución acumulativa de la distribución beta y está relacionada con la función de distribución acumulada de una variable aleatoria X siguiendo una distribución binomial con probabilidad de éxito simple py número de ensayos de Bernoulli n :
Propiedades
Función beta multivariante
La función beta se puede extender a una función con más de dos argumentos:
Esta función beta multivariante se utiliza en la definición de la distribución de Dirichlet . Su relación con la función beta es análoga a la relación entre coeficientes multinomiales y coeficientes binomiales.
Aplicaciones
La función beta es útil para calcular y representar la amplitud de dispersión de las trayectorias de Regge . La función beta también es importante en estadísticas y para la distribución Beta y la distribución Beta Prime . Como se mencionó brevemente anteriormente, la función beta está estrechamente relacionada con la función gamma y juega un papel importante en el cálculo .
Implementación de software
Incluso si no están disponibles directamente, los valores de la función beta completos e incompletos se pueden calcular utilizando funciones que se incluyen comúnmente en las hojas de cálculo o en los sistemas de álgebra de computadora . En Excel , por ejemplo, el valor beta completo se puede calcular a partir de la GammaLnfunción:
Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))
Un valor beta incompleto se puede calcular como:
Value = BetaDist(x, a, b) * Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)).
Estos resultados se derivan de las propiedades enumeradas anteriormente .
De manera similar, betainc(función beta incompleta) en MATLAB y GNU Octave , pbeta(probabilidad de distribución beta) en R , o special.betaincen el paquete SciPy de Python, calcula la función beta incompleta regularizada, que es, de hecho, la distribución beta acumulativa, y así obtener la función beta incompleta real, se debe multiplicar el resultado de betaincpor el resultado devuelto por la betafunción correspondiente . En Mathematica , Beta[x, a, b]y BetaRegularized[x, a, b]dar y , respectivamente.
Ver también
Distribución beta y distribución beta principal , dos distribuciones de probabilidad relacionadas con la función beta
Suma de Jacobi , el análogo de la función beta sobre campos finitos .
Integral de Nörlund – Rice
Distribución de Yule-Simon
Referencias
↑ a b Davis (1972) 6.2.2 p.258
^ Davis (1972) 6.2.1 p.258
^ Artin, Emil. La función Gamma (PDF) . págs. 18-19. Archivado desde el original (PDF) el 12 de noviembre de 2016 . Consultado el 11 de noviembre de 2016 .
^"Fórmula de reflexión de Euler - ProofWiki" . proofwiki.org . Consultado el 2 de septiembre de 2020 .
^París, RB (2010), "Beta Function" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
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Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.1 Función Gamma, Función Beta, Factoriales" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8