En la teoría de categorías , una categoría de Kleisli es una categoría asociada naturalmente a cualquier mónada T. Es equivalente a la categoría de T - álgebras libres . La categoría de Kleisli es una de las dos soluciones extremas a la pregunta ¿Toda mónada surge de una adjunción ? La otra solución extrema es la categoría de Eilenberg-Moore . Las categorías de Kleisli llevan el nombre del matemático Heinrich Kleisli .
Sea ⟨ T , η , μ ⟩ una mónada sobre una categoría C . La categoría de Kleisli de C es la categoría C T cuyos objetos y morfismos están dados por
Es decir, todo morfismo f: X → TY en C (con codominio TY ) también puede considerarse como un morfismo en C T (pero con codominio Y ). La composición de los morfismos en C T viene dada por
Mac Lane utiliza una forma alternativa de escribir esto, que aclara la categoría en la que vive cada objeto. [1] Usamos una notación ligeramente diferente para esta presentación. Dada la misma mónada y categoría que arriba, asociamos con cada objeto en un nuevo objeto , y para cada morfismo en un morfismo . Juntos, estos objetos y morfismos forman nuestra categoría , donde definimos
Entonces el morfismo identidad en es
La composición de las flechas de Kleisli se puede expresar sucintamente mediante el operador de extensión (–) # : Hom( X , TY ) → Hom( TX , TY ). Dada una mónada ⟨ T , η , μ ⟩ sobre una categoría C y un morfismo f : X → TY sea