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Representación esquemática de una categoría con objetos X , Y , Z y morfismos f , g , g ∘ f . (Los tres morfismos de identidad de la categoría 1 X , 1 Y y 1 Z , si se representan explícitamente, aparecerían como tres flechas, desde las letras X, Y y Z a sí mismas, respectivamente).

La teoría de categorías formaliza la estructura matemática y sus conceptos en términos de un gráfico dirigido etiquetado llamado categoría , cuyos nodos se denominan objetos y cuyos bordes dirigidos etiquetados se denominan flechas (o morfismos ). [1] Una categoría tiene dos propiedades básicas: la capacidad de componer las flechas de forma asociativa y la existencia de una flecha de identidad para cada objeto. El lenguaje de la teoría de categorías se ha utilizado para formalizar conceptos de otras abstracciones de alto nivel como conjuntos, anillos y grupos . De manera informal, la teoría de categorías es una teoría general de funciones .

Varios términos usados ​​en la teoría de categorías, incluido el término "morfismo", se usan de manera diferente a sus usos en el resto de las matemáticas. En la teoría de categorías, los morfismos obedecen a condiciones específicas de la propia teoría de categorías.

Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane introdujeron los conceptos de categorías, functores y transformaciones naturales de 1942 a 1945 en su estudio de la topología algebraica , con el objetivo de comprender los procesos que preservan la estructura matemática.

La teoría de categorías tiene aplicaciones prácticas en la teoría del lenguaje de programación , por ejemplo, el uso de mónadas en la programación funcional . También se puede utilizar como fundamento axiomático de las matemáticas, como alternativa a la teoría de conjuntos y otros fundamentos propuestos.

Conceptos básicos [ editar ]

Las categorías representan abstracciones de otros conceptos matemáticos. Muchas áreas de las matemáticas pueden formalizarse mediante la teoría de categorías como categorías . Por lo tanto, la teoría de categorías usa la abstracción para hacer posible enunciar y probar muchos resultados matemáticos intrincados y sutiles en estos campos de una manera mucho más simple. [2]

Un ejemplo básico de una categoría es la categoría de conjuntos , donde los objetos son conjuntos y las flechas son funciones de un conjunto a otro. Sin embargo, los objetos de una categoría no necesitan ser conjuntos y las flechas no necesitan ser funciones. Cualquier forma de formalizar un concepto matemático de modo que cumpla las condiciones básicas sobre el comportamiento de los objetos y las flechas es una categoría válida, y todos los resultados de la teoría de categorías se aplican a ella.

A menudo se dice que las "flechas" de la teoría de categorías representan un proceso que conecta dos objetos o, en muchos casos, una transformación que "preserva la estructura" que conecta dos objetos. Sin embargo, hay muchas aplicaciones en las que los objetos y morfismos representan conceptos mucho más abstractos. La propiedad más importante de las flechas es que pueden "componerse", es decir, disponerse en una secuencia para formar una nueva flecha.

Aplicaciones de categorías [ editar ]

Las categorías aparecen ahora en muchas ramas de las matemáticas, en algunas áreas de la informática teórica donde pueden corresponder a tipos o esquemas de bases de datos , y en física matemática donde se pueden utilizar para describir espacios vectoriales . [3] Probablemente la primera aplicación de la teoría de categorías fuera de las matemáticas puras fue el modelo de "reparación del metabolismo" de los organismos vivos autónomos de Robert Rosen . [4]

Utilidad [ editar ]

Categorías, objetos y morfismos [ editar ]

El estudio de categorías es un intento de capturar axiomáticamente lo que se encuentra comúnmente en varias clases de estructuras matemáticas relacionadas relacionándolas con las funciones que preservan la estructura entre ellas. Un estudio sistemático de la teoría de categorías nos permite probar resultados generales sobre cualquiera de estos tipos de estructuras matemáticas a partir de los axiomas de una categoría.

Considere el siguiente ejemplo. La clase Grp of groups consta de todos los objetos que tienen una "estructura de grupo". Se puede proceder a probar teoremas sobre grupos haciendo deducciones lógicas del conjunto de axiomas que definen a los grupos. Por ejemplo, se prueba inmediatamente a partir de los axiomas que el elemento de identidad de un grupo es único.

En lugar de centrarse meramente en los objetos individuales (por ejemplo, grupos) que poseen una estructura dada, la teoría de categorías enfatiza los morfismos - las asignaciones que preservan la estructura - entre estos objetos; al estudiar estos morfismos, se puede aprender más sobre la estructura de los objetos. En el caso de los grupos, los morfismos son los homomorfismos de grupo . Un homomorfismo de grupo entre dos grupos "conserva la estructura del grupo" en un sentido preciso; informalmente es un "proceso" que lleva de un grupo a otro, de una manera que lleva información sobre la estructura del primer grupo al segundo grupo. El estudio de los homomorfismos de grupo proporciona una herramienta para estudiar las propiedades generales de los grupos y las consecuencias de los axiomas de los grupos.

Un tipo similar de investigación ocurre en muchas teorías matemáticas, como el estudio de mapas continuos (morfismos) entre espacios topológicos en topología (la categoría asociada se llama Top ), y el estudio de funciones suaves (morfismos) en teoría múltiple .

Sin embargo, no todas las categorías surgen como "funciones de conservación de estructura (conjunto)"; el ejemplo estándar es la categoría de homotopías entre espacios topológicos puntiagudos .

Si se axiomatiza relaciones en lugar de funciones , se obtiene la teoría de las alegorías .

Functors [ editar ]

Artículo principal: Functor
Ver también: Functores adjuntos § Motivación

Una categoría es en sí misma un tipo de estructura matemática, por lo que podemos buscar "procesos" que conserven esta estructura en algún sentido; tal proceso se llama funtor .

La búsqueda de diagramas es un método visual de discutir con "flechas" abstractas unidas en diagramas. Los funciones están representados por flechas entre categorías, sujetos a condiciones de conmutatividad definitorias específicas. Los funciones pueden definir (construir) diagramas categóricos y secuencias (cf. Mitchell, 1965) [ cita requerida ] . Un funtor asocia a cada objeto de una categoría un objeto de otra categoría, y a cada morfismo de la primera categoría un morfismo de la segunda.

Como resultado, esto define una categoría de categorías y functores : los objetos son categorías y los morfismos (entre categorías) son functores.

Estudiar categorías y functores no es solo estudiar una clase de estructuras matemáticas y los morfismos entre ellas, sino más bien las relaciones entre varias clases de estructuras matemáticas . Esta idea fundamental apareció por primera vez en la topología algebraica . Las preguntas topológicas difíciles se pueden traducir en preguntas algebraicas que a menudo son más fáciles de resolver. Las construcciones básicas, como el grupo fundamental o el grupo fundamental de un espacio topológico , pueden expresarse como functores de la categoría de grupoides de esta manera, y el concepto es omnipresente en el álgebra y sus aplicaciones.

Transformaciones naturales [ editar ]

Artículo principal: Transformación natural

Resumiendo una vez más, algunas construcciones esquemáticas y / o secuenciales a menudo están "relacionadas naturalmente", una noción vaga, a primera vista. Esto conduce al concepto clarificador de transformación natural , una forma de "mapear" un funtor con otro. En este contexto se pueden estudiar muchas construcciones importantes en matemáticas. La "naturalidad" es un principio, como la covarianza general en física, que corta más profundamente de lo que parece inicialmente. Una flecha entre dos functores es una transformación natural cuando está sujeta a determinadas condiciones de naturalidad o conmutatividad.

Los funciones y las transformaciones naturales ('naturalidad') son los conceptos clave en la teoría de categorías. [5]

Categorías, objetos y morfismos [ editar ]

Artículos principales: Categoría (matemáticas) y Morfismo

Categorías [ editar ]

Una categoría C consta de las siguientes tres entidades matemáticas:

  • Una clase ob ( C ), cuyos elementos se denominan objetos ;
  • Una clase hom ( C ), cuyos elementos se denominan morfismos o mapas o flechas . Cada morfismo f tiene una fuente objeto una y objetivo objeto b .
    La expresión f  : a → b , se expresaría verbalmente como " f es un morfismo de a a b ".
    La expresión hom ( a , b ) - expresada alternativamente como hom C ( a , b ), mor ( a , b ) o C ( a , b ) : denota la clase hom de todos los morfismos de a a b .
  • Una operación binaria ∘, llamada composición de morfismos , tal que para cualquier tres objetos un , b , y c , tenemos ∘: hom ( b , c ) × hom ( un , b ) → hom ( una , c ) . La composición de f  : un → b y g  : b → c se escribe como g ∘ f o gf , [a] gobernado por dos axiomas:
    • Asociatividad : Si f  : un → b , g  : b → c y h  : c → d entonces h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f , y
    • Identidad : Para cada objeto x , existe un morfismo 1 x  : x → x llamado morfismo de identidad para x , tal que para cada morfismo f  : a → b , tenemos 1 b ∘ f = f = f ∘ 1 a .
A partir de los axiomas, se puede probar que existe exactamente un morfismo de identidad para cada objeto. Algunos autores se desvían de la definición que acabamos de dar al identificar cada objeto con su morfismo de identidad.

Morfismos [ editar ]

Las relaciones entre morfismos (como fg = h ) a menudo se representan mediante diagramas conmutativos , con "puntos" (esquinas) que representan objetos y "flechas" que representan morfismos.

Los morfismos pueden tener cualquiera de las siguientes propiedades. Un morfismo f  : a → b es a:

  • monomorfismo (o mónico ) si f ∘ g 1 = f ∘ g 2 implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2  : x → a .
  • epimorfismo (o épico ) si g 1 ∘ f = g 2 ∘ f implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2  : b → x .
  • bimorfismo si f es tanto épica como mónica.
  • isomorfismo si existe un morfismo g  : b → a tal que f ∘ g = 1 b y g ∘ f = 1 a . [B]
  • endomorfismo si a = b . end ( a ) denota la clase de endomorfismos de a .
  • automorfismo si f es tanto un endomorfismo como un isomorfismo. aut ( a ) denota la clase de automorfismos de a .
  • retracción si existe una inversa derecha de f , es decir, si existe un morfismo g  : b → a con f ∘ g = 1 b .
  • sección si existe una inversa a la izquierda de f , es decir, si existe un morfismo g  : b → a con g ∘ f = 1 a .

Cada retractación es un epimorfismo y cada sección es un monomorfismo. Además, las siguientes tres declaraciones son equivalentes:

  • f es un monomorfismo y una retracción;
  • f es un epimorfismo y una sección;
  • f es un isomorfismo.

Functors [ editar ]

Artículo principal: Functor

Los functors son mapas que preservan la estructura entre categorías. Pueden considerarse morfismos en la categoría de todas las categorías (pequeñas).

Un funtor ( covariante ) F de una categoría C a una categoría D , escrito F  : C → D , consta de:

  • para cada objeto x en C , un objeto F ( x ) en D ; y
  • para cada morfismo f  : x → y en C , un morfismo F ( f ): F ( x ) → F ( y ) ,

de modo que se mantengan las siguientes dos propiedades:

  • Para cada objeto x en C , F (1 x ) = 1 F ( x ) ;
  • Para todos los morfismos f  : x → y y g  : y → z , F ( g ∘ f ) = F ( g ) ∘ F ( f ) .

Un funtor contravariante F : C → D es como un funtor covariante, excepto que "da vuelta a los morfismos" ("invierte todas las flechas"). Más específicamente, cada morfismo f  : x → y en C debe ser asignado a un morfismo F ( f ): F ( y ) → F ( x ) en D . En otras palabras, un funtor contravariante actúa como un funtor covariante de la categoría opuesta C op a D .

Transformaciones naturales [ editar ]

Artículo principal: Transformación natural

Una transformación natural es una relación entre dos functores. Los funciones a menudo describen "construcciones naturales" y las transformaciones naturales luego describen "homomorfismos naturales" entre dos de estas construcciones. A veces, dos construcciones bastante diferentes producen "el mismo" resultado; esto se expresa mediante un isomorfismo natural entre los dos functores.

Si F y G son functores (covariantes) entre las categorías C y D , entonces una transformación natural η de F a G asocia a cada objeto X en C un morfismo η X  : F ( X ) → G ( X ) en D tal que para cada morfismo f  : X → Y en C , tenemos η Y ∘ F ( f ) = G( f ) ∘ η X ; esto significa que el siguiente diagrama es conmutativo :

Los dos funtores F y G se llaman naturalmente isomorfos si existe una transformación natural de F a G tal que η X es un isomorfismo para cada objeto X en C .

Otros conceptos [ editar ]

Construcciones, límites y colimits universales [ editar ]

Artículos principales: Propiedad universal y límite (teoría de categorías)

Utilizando el lenguaje de la teoría de categorías, se pueden clasificar muchas áreas de estudio matemático. Las categorías incluyen conjuntos, grupos y topologías.

Cada categoría se distingue por propiedades que todos sus objetos tienen en común, como el conjunto vacío o el producto de dos topologías , sin embargo, en la definición de una categoría, los objetos se consideran atómicos, es decir, no sabemos si un objeto A es un conjunto, una topología o cualquier otro concepto abstracto. Por tanto, el desafío consiste en definir objetos especiales sin hacer referencia a la estructura interna de esos objetos. Para definir el conjunto vacío sin hacer referencia a elementos, o la topología del producto sin hacer referencia a conjuntos abiertos, se pueden caracterizar estos objetos en términos de sus relaciones con otros objetos, como lo dan los morfismos de las categorías respectivas. Por tanto, la tarea es encontrar propiedades universales que determinan de forma única los objetos de interés.

Se pueden describir numerosas construcciones importantes de una manera puramente categórica si el límite de categoría se puede desarrollar y dualizar para producir la noción de colimit .

Categorías equivalentes [ editar ]

Artículos principales: Equivalencia de categorías e isomorfismo de categorías

Es una pregunta natural preguntarse: ¿bajo qué condiciones se pueden considerar dos categorías esencialmente iguales , en el sentido de que los teoremas sobre una categoría pueden transformarse fácilmente en teoremas sobre la otra categoría? La principal herramienta que se emplea para describir tal situación se llama equivalencia de categorías , que viene dada por los functores apropiados entre dos categorías. La equivalencia categórica ha encontrado numerosas aplicaciones en matemáticas.

Más conceptos y resultados [ editar ]

Las definiciones de categorías y functores proporcionan solo los conceptos básicos del álgebra categórica; A continuación se enumeran otros temas importantes. Aunque existen fuertes interrelaciones entre todos estos temas, el orden dado se puede considerar como una guía para lecturas adicionales.

  • La categoría de funtor D C tiene como objetos los functores de C a D y como morfismos las transformaciones naturales de dichos functores. El lema de Yoneda es uno de los resultados básicos más famosos de la teoría de categorías; describe functores representables en categorías de functores.
  • Dualidad : Cada enunciado, teorema o definición en la teoría de categorías tiene un dual que se obtiene esencialmente "invirtiendo todas las flechas". Si un enunciado es verdadero en una categoría C, entonces su dual es verdadero en la categoría dual C op . Esta dualidad, que es transparente a nivel de teoría de categorías, a menudo se oculta en las aplicaciones y puede conducir a relaciones sorprendentes.
  • Functores adjuntos : un functor puede ser adjunto a la izquierda (o derecha) a otro functor que se mapea en la dirección opuesta. Este par de functores adjuntos surge típicamente de una construcción definida por una propiedad universal; esto puede verse como una visión más abstracta y poderosa de las propiedades universales.

Categorías de mayor dimensión [ editar ]

Artículo principal: teoría de categorías superiores

Muchos de los conceptos anteriores, especialmente la equivalencia de categorías, pares de functores adjuntos y categorías de functores, pueden situarse en el contexto de categorías de dimensiones superiores . Brevemente, si consideramos un morfismo entre dos objetos como un "proceso que nos lleva de un objeto a otro", entonces las categorías de dimensiones superiores nos permiten generalizar esto de manera provechosa considerando "procesos de dimensiones superiores".

Por ejemplo, una categoría 2 (estricta) es una categoría junto con "morfismos entre morfismos", es decir, procesos que nos permiten transformar un morfismo en otro. Entonces podemos "componer" estos "bimorfismos" tanto horizontal como verticalmente, y necesitamos una "ley de intercambio" bidimensional para que se cumpla, relacionando las dos leyes de composición. En este contexto, el ejemplo estándar es Cat , la categoría 2 de todas las categorías (pequeñas), y en este ejemplo, los bimorfismos de morfismos son simplemente transformaciones naturales de morfismos en el sentido habitual. Otro ejemplo básico es considerar una categoría 2 con un solo objeto; estas son esencialmente categorías monoidales . Bicategorías son una noción más débil de categorías bidimensionales en las que la composición de los morfismos no es estrictamente asociativa, sino sólo asociativa "hasta" un isomorfismo.

Este proceso se puede extender para todos los números naturales n , y estos se denominan n- categorías . Incluso existe una noción de categoría ω correspondiente al número ordinal ω .

Las categorías de dimensiones superiores son parte del campo matemático más amplio del álgebra de dimensiones superiores , un concepto introducido por Ronald Brown . Para una introducción conversacional a estas ideas, vea John Baez, 'A Tale of n -categories' (1996).

Notas históricas [ editar ]

Artículo principal: Cronología de la teoría de categorías y matemáticas relacionadas

En primer lugar, debe observarse que todo el concepto de categoría es esencialmente auxiliar; nuestros conceptos básicos son esencialmente los de un funtor y de una transformación natural [...]

-  Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane , Teoría general de equivalencias naturales [6]

En 1942-1945, Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane introdujeron categorías, functores y transformaciones naturales como parte de su trabajo en topología, especialmente topología algebraica . Su trabajo fue una parte importante de la transición de la homología intuitiva y geométrica al álgebra homológica . Eilenberg y Mac Lane escribieron más tarde que su objetivo era comprender las transformaciones naturales. Eso requería definir functors, que requerían categorías.

Stanislaw Ulam , y algunos escritos en su nombre, han afirmado que las ideas relacionadas estaban vigentes a fines de la década de 1930 en Polonia. Eilenberg era polaco y estudió matemáticas en Polonia en la década de 1930. La teoría de categorías es también, en cierto sentido, una continuación del trabajo de Emmy Noether (una de las maestras de Mac Lane) en la formalización de procesos abstractos; [ cita requerida ] Noether se dio cuenta de que comprender un tipo de estructura matemática requiere comprender los procesos que preservan esa estructura ( homomorfismos ). [ cita requerida ] Eilenberg y Mac Lane introdujeron categorías para comprender y formalizar los procesos ( functores ) que se relacionanestructuras topológicas a estructuras algebraicas ( invariantes topológicas ) que las caracterizan.

La teoría de categorías se introdujo originalmente para la necesidad de álgebra homológica y se extendió ampliamente para la necesidad de geometría algebraica moderna ( teoría de esquemas ). La teoría de categorías puede verse como una extensión del álgebra universal , ya que la última estudia las estructuras algebraicas , y la primera se aplica a cualquier tipo de estructura matemática y estudia también las relaciones entre estructuras de diferente naturaleza. Por esta razón, se utiliza en todas las matemáticas. Las aplicaciones a la lógica matemática y la semántica ( máquina abstracta categórica ) llegaron más tarde.

Ciertas categorías llamadas topoi ( topos singular ) pueden incluso servir como una alternativa a la teoría de conjuntos axiomáticos como base de las matemáticas. Un topos también se puede considerar como un tipo específico de categoría con dos axiomas de topos adicionales. Estas aplicaciones fundamentales de la teoría de categorías se han elaborado con bastante detalle como base y justificación de las matemáticas constructivas . La teoría de Topos es una forma de teoría abstracta de gavillas , con orígenes geométricos, y conduce a ideas como la topología sin sentido .

La lógica categórica es ahora un campo bien definido basado en la teoría de tipos para la lógica intuicionista , con aplicaciones en programación funcional y teoría de dominios , donde una categoría cerrada cartesiana se toma como una descripción no sintáctica de un cálculo lambda . Como mínimo, el lenguaje de teoría de categorías aclara qué tienen exactamente en común estas áreas relacionadas (en un sentido abstracto ).

La teoría de categorías también se ha aplicado en otros campos. Por ejemplo, John Baez ha mostrado un vínculo entre los diagramas de Feynman en física y categorías monoidales. [7] Otra aplicación de la teoría de categorías, más específicamente: la teoría topos, se ha realizado en la teoría musical matemática, ver por ejemplo el libro The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance de Guerino Mazzola .

Los esfuerzos más recientes para introducir a los estudiantes a las categorías como base para las matemáticas incluyen los de William Lawvere y Rosebrugh (2003) y Lawvere y Stephen Schanuel (1997) y Mirroslav Yotov (2012).

Ver también [ editar ]

  • Teoría del dominio
  • Teoría de categorías enriquecida
  • Glosario de teoría de categorías
  • Teoría de grupos
  • Teoría de categorías superiores
  • Álgebra de dimensiones superiores
  • Publicaciones importantes en teoría de categorías
  • Cálculo lambda
  • Esquema de la teoría de categorías
  • Cronología de la teoría de categorías y matemáticas relacionadas

Notas [ editar ]

  1. ^ Algunos autores componen en el orden opuesto, escribiendo fg o f ∘ g para g ∘ f . Los informáticos que utilizan la teoría de categorías suelen escribir f  ; g para g ∘ f
  2. ^ ¡ Tenga en cuenta que un morfismo que es tanto épico como mónico no es necesariamente un isomorfismo! Un contraejemplo elemental: en la categoría que consta de dos objetos A y B , los morfismos de identidad y un morfismo único f de A a B , f es tanto épica como mónica, pero no es un isomorfismo.

Referencias [ editar ]

Citas [ editar ]

  1. ^ Awodey, Steve (2010) [2006]. Teoría de categorías . Guías lógicas de Oxford. 49 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-923718-0.
  2. ^ Geroch, Robert (1985). Física matemática ([Repr.] Ed.). Prensa de la Universidad de Chicago. . pp  7 . ISBN 978-0-226-28862-8. Tenga en cuenta que el teorema 3 es más fácil para las categorías en general que para el caso especial de conjuntos. Este fenómeno no es raro en absoluto.
  3. ^ Coecke, B., ed. (2011). Nuevas estructuras para la física . Apuntes de clases de física. 831 . Springer-Verlag. ISBN 9783642128202.
  4. ^ Rosen, Robert (1958). "La representación de sistemas biológicos desde el punto de vista de la teoría de categorías" (PDF) . Boletín de Biofísica Matemática . 20 (4): 317–341. doi : 10.1007 / BF02477890 .
  5. ^ Mac Lane 1998 , p. 18: "Como observó por primera vez Eilenberg-Mac Lane, 'categoría' se ha definido para poder definir 'functor' y 'functor' se ha definido para poder definir 'transformación natural'".
  6. ^ Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1945). "Teoría general de equivalencias naturales" . Transacciones de la American Mathematical Society . 58 : 247. doi : 10.1090 / S0002-9947-1945-0013131-6 . ISSN 0002-9947 . 
  7. ^ Báez, JC; Quédate, M. (2009). "Física, topología, lógica y computación: una piedra de Rosetta". Nuevas estructuras para la física . Apuntes de clases de física. 813 . págs. 95-172. arXiv : 0903.0340 . doi : 10.1007 / 978-3-642-12821-9_2 . ISBN 978-3-642-12820-2. S2CID  115169297 .

Fuentes [ editar ]

  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst ; Strecker, George E. (2004). Categorías abstractas y concretas . Heldermann Verlag Berlín.
  • Barr, Michael ; Wells, Charles (2012) [1995], Teoría de categorías para la ciencia de la computación , Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías, 22 (3a ed.).
  • Barr, Michael ; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories , Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías, 12 , MR  2178101.
  • Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 50–52. ISBN 9780521441780.
  • Freyd, Peter J. (2003) [1964]. Categorías abelianas . Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías. 3 .
  • Freyd, Peter J .; Scedrov, Andre (1990). Categorías, alegorías . Biblioteca Matemática de Holanda Septentrional. 39 . Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-088701-2.
  • Goldblatt, Robert (2006) [1979]. Topoi: el análisis categórico de la lógica . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas. 94 . Dover. ISBN 978-0-486-45026-1.
  • Herrlich, Horst ; Strecker, George E. (2007). Teoría de categorías (3ª ed.). Heldermann Verlag Berlín. ISBN 978-3-88538-001-6..
  • Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006). Categorías y poleas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332 . Saltador. ISBN 978-3-540-27949-5.
  • Lawvere, F. William ; Rosebrugh, Robert (2003). Conjuntos para matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-01060-3.
  • Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen Hoel (2009) [1997]. Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-89485-2.
  • Leinster, Tom (2004). Operads superiores, categorías superiores . Operads superiores . London Math. Serie de notas de conferencias de la sociedad. 298 . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 448. bibcode : 2004hohc.book ..... L . ISBN 978-0-521-53215-0. Archivado desde el original el 25 de octubre de 2003 . Consultado el 3 de abril de 2006 .
  • Leinster, Tom (2014). Teoría básica de categorías . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 143 . Prensa de la Universidad de Cambridge. arXiv : 1612.09375 . ISBN 9781107044241.
  • Lurie, Jacob (2009). Teoría del Topos Superior . Anales de estudios matemáticos. 170 . Prensa de la Universidad de Princeton. arXiv : matemáticas.CT / 0608040 . ISBN 978-0-691-14049-0. Señor  2522659 .
  • Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas. 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98403-2. Señor  1712872 .
  • Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Álgebra (2ª ed.). Chelsea. ISBN 978-0-8218-1646-2.
  • Martini, A .; Ehrig, H .; Nunes, D. (1996). "Elementos de la teoría de categorías básicas" . Informe técnico . 96 (5).
  • Mayo, Peter (1999). Un curso conciso en topología algebraica . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0-226-51183-2.
  • Mazzola, Guerino (2002). Los topos de la música, la lógica geométrica de los conceptos, la teoría y la interpretación . Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-83414-8. Zbl  1034.18001 .
  • Pierce, Benjamin C. (1991). Teoría básica de categorías para informáticos . MIT Press. ISBN 978-0-262-66071-6.
  • Schalk, A .; Simmons, H. (2005). Una introducción a la teoría de categorías en cuatro sencillos movimientos (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 21 de marzo de 2017 . Consultado el 3 de diciembre de 2007 .Notas para un curso ofrecido como parte del MSc. en Lógica Matemática , Universidad de Manchester .
  • Simpson, Carlos (2010). Teoría de la homotopía de categorías superiores . arXiv : 1001.4071 . Código bibliográfico : 2010arXiv1001.4071S ., borrador de un libro.
  • Taylor, Paul (1999). Fundamentos prácticos de las matemáticas . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 59 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-63107-5.
  • Turi, Daniele (1996-2001). "Notas de la lección de teoría de categorías" (PDF) . Consultado el 11 de diciembre de 2009 .Basado en Mac Lane 1998 .

Lectura adicional [ editar ]

  • Marqués, Jean-Pierre (2008). Desde un punto de vista geométrico: un estudio de la historia y la filosofía de la teoría de categorías . Saltador. ISBN 978-1-4020-9384-5.

Enlaces externos [ editar ]

  • Teoría y Aplicación de Categorías , revista electrónica de teoría de categorías, texto completo, gratis, desde 1995.
  • nLab , un proyecto wiki sobre matemáticas, física y filosofía con énfasis en el punto de vista n -categórico.
  • The n-Category Café , esencialmente un coloquio sobre temas de teoría de categorías.
  • Teoría de categorías , una página web con enlaces a notas de clase y libros disponibles gratuitamente sobre teoría de categorías.
  • Hillman, Chris, Introducción categórica , CiteSeerX  10.1.1.24.3264, una introducción formal a la teoría de categorías.
  • Adamek, J .; Herrlich, H .; Stecker, G. "Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos" (PDF) .
  • Entrada "Category Theory" de Jean-Pierre Marquis en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford , con una extensa bibliografía.
  • Lista de conferencias académicas sobre teoría de categorías
  • Báez, John (1996). "El cuento de n- categorías" . - Una introducción informal a categorías de orden superior.
  • WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, functores , transformaciones naturales , propiedades universales .
  • El canal de los catsters en YouTube , un canal sobre teoría de categorías.
  • Teoría de categorías en PlanetMath ..
  • Archivo de videos de charlas grabadas relevantes a categorías, lógica y fundamentos de la física.
  • Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.
  • Teoría de categorías para las ciencias , una instrucción sobre la teoría de categorías como herramienta en todas las ciencias.
  • Teoría de categorías para programadores Un libro en forma de blog que explica la teoría de categorías para programadores de computadoras.
  • Introducción a la teoría de categorías.