categoría Kleisli

---

En la teoría de categorías , una categoría de Kleisli es una categoría asociada naturalmente a cualquier mónada T. Es equivalente a la categoría de T - álgebras libres . La categoría de Kleisli es una de las dos soluciones extremas a la pregunta ¿Toda mónada surge de una adjunción ? La otra solución extrema es la categoría de Eilenberg-Moore . Las categorías de Kleisli llevan el nombre del matemático Heinrich Kleisli .

Sea ⟨ T , η , μ ⟩ una mónada sobre una categoría C . La categoría de Kleisli de C es la categoría C _T cuyos objetos y morfismos están dados por

Es decir, todo morfismo f: X → TY en C (con codominio TY ) también puede considerarse como un morfismo en C _T (pero con codominio Y ). La composición de los morfismos en C _T viene dada por

Mac Lane utiliza una forma alternativa de escribir esto, que aclara la categoría en la que vive cada objeto. ^[1] Usamos una notación ligeramente diferente para esta presentación. Dada la misma mónada y categoría que arriba, asociamos con cada objeto en  un nuevo objeto , y para cada morfismo en  un morfismo . Juntos, estos objetos y morfismos forman nuestra categoría , donde definimos${\ estilo de visualización C}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización C}$${\ estilo de visualización X_ {T}}$${\displaystyle f\dos puntos X\a TY}$${\ estilo de visualización C}$${\displaystyle f^{*}\dos puntos X_{T}\a Y_{T}}$${\ estilo de visualización C_ {T}}$

Entonces el morfismo identidad en es${\ estilo de visualización C_ {T}}$

La composición de las flechas de Kleisli se puede expresar sucintamente mediante el operador de extensión (–) ^#  : Hom( X , TY ) → Hom( TX , TY ). Dada una mónada ⟨ T , η , μ ⟩ sobre una categoría C y un morfismo f  : X → TY sea

---