Teorema de Kneser (combinatoria)

En la rama de las matemáticas conocida como combinatoria aditiva , el teorema de Kneser puede referirse a uno de varios teoremas relacionados con respecto a los tamaños de ciertas sumas en grupos abelianos . Estos llevan el nombre de Martin Kneser , quien los publicó en 1953 ^[1] y 1956. ^[2] Pueden considerarse extensiones del teorema de Cauchy-Davenport , que también se refiere a conjuntos de suma en grupos, pero está restringido a grupos cuyo orden es un primo. número . ^[3]

Las primeras tres declaraciones tratan con sumas cuyo tamaño (en varios sentidos) es estrictamente menor que la suma del tamaño de los sumandos. El último enunciado trata del caso de igualdad para la medida de Haar en grupos abelianos compactos conectados.

Si es un grupo abeliano y es un subconjunto de , el grupo es el estabilizador de . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle H (C): = \ {g \ in G: g + C = C \}}$ ${\ Displaystyle C}$

Sea un grupo abeliano . Si y son subconjuntos finitos no vacíos de satisfacer y es el estabilizador de , entonces ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle | A + B | <| A | + | B |}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle A + B}$ ${\ displaystyle {\ begin {alineado} | A + B | & = | A + H | + | B + H | - | H |. \ end {alineado}}}$

Esta declaración es un corolario de la declaración para los grupos de LCA a continuación, obtenida al especializarse en el caso donde el grupo ambiental es discreto. Se proporciona una prueba independiente en el libro de texto de Nathanson. ^[4]

Si es un subconjunto de , la densidad asintótica más baja de es el número . El teorema de Kneser para una densidad asintótica inferior establece que si y son subconjuntos de satisfactorio , entonces hay un número natural tal que satisface las dos condiciones siguientes: ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle {\ underline {d}} (C): = \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {| C \ cap \ {1, \ dots, n \} |} {n}}}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {d}} (A + B) <{\ underline {d}} (A) + {\ underline {d}} (B)}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle H: = k \ mathbb {N} \ cup \ {0 \}}$