¿Cuántos triángulos no superpuestos se pueden formar en una disposición de ¿líneas?
El problema del triángulo de Kobon es un problema no resuelto en geometría combinatoria, planteado por primera vez por Kobon Fujimura (1903-1983). El problema pide el mayor número N ( k ) de triángulos no superpuestos cuyos lados se encuentran en una disposición de k líneas . Las variaciones del problema consideran el plano proyectivo en lugar del plano euclidiano, y requieren que los triángulos no sean cruzados por ninguna otra línea de la disposición. [1]
Saburo Tamura demostró que el entero más grande que no exceda k ( k - 2) / 3 proporciona un límite superior en el número máximo de triángulos no superpuestos realizables por k líneas. [2] En 2007, Johannes Bader y Gilles Clément encontraron un límite superior más estrecho, al demostrar que el límite superior de Tamura no se podía alcanzar para ningún k congruente con 0 o 2 (mod 6). [3] Por lo tanto, el número máximo de triángulos es como máximo uno menos que el límite de Tamura en estos casos. Las soluciones perfectas (soluciones de triángulos de Kobon que producen el número máximo de triángulos) son conocidas para k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 y 17. [4] Para k = 10, 11 y 12, las mejores soluciones conocidas alcanzan un número de triángulos uno menos que el límite superior.
Como demostraron G. Clément y J. Bader, [3] las soluciones para k > 2 están acotadas arriba por
- , cuando k == {3, 5} (mod 6);
- , cuando k == {0, 2} (mod 6);
- , cuando k == {1, 4} (mod 6).
(La función de piso se maneja notando que la expresión k ( k - 2) es un múltiplo de 3 en el primer caso y 2 más que un múltiplo de 3 en el tercer caso; Clément y Bader solo mejoraron el límite en el caso del medio .)
Dada una solución perfecta con k 0 > 3 líneas, se pueden encontrar otros números de solución del triángulo de Kobon para todos los valores de k i donde
mediante el procedimiento de D. Forge y JL Ramirez Alfonsin. [1] [5] Por ejemplo, la solución para k 0 = 5 conduce al número máximo de triángulos no superpuestos para k = 5,9,17,33,65, ...
k | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | OEIS |
Límite superior de Tamura en N ( k ) | 1 | 2 | 5 | 8 | 11 | dieciséis | 21 | 26 | 33 | 40 | 47 | 56 | sesenta y cinco | 74 | 85 | 96 | 107 | 120 | 133 | A032765 |
Límite superior de Clément y Bader | 1 | 2 | 5 | 7 | 11 | 15 | 21 | 26 | 33 | 39 | 47 | 55 | sesenta y cinco | 74 | 85 | 95 | 107 | 119 | 133 | - |
la solución más conocida | 1 | 2 | 5 | 7 | 11 | 15 | 21 | 25 | 32 | 38 | 47 | 53 | sesenta y cinco | 72 | 85 | 93 | 104 | 115 | 130 | A006066 |
Ejemplos de
3 líneas rectas dan como resultado un triángulo
4 lineas rectas
5 lineas rectas
6 lineas rectas
7 lineas rectas
Ver también
- Teorema del triángulo de Roberts
Referencias
- ^ a b Forja, D .; Ramírez Alfonsín, JL (1998), "Arreglos en línea recta en el plano proyectivo real", Geometría discreta y computacional , 20 (2): 155-161, doi : 10.1007 / PL00009373.
- ^ Weisstein, Eric W. "Triángulo de Kobon" . MathWorld .
- ^ a b "G. Clément y J. Bader. Límite superior más estricto para el número de triángulos de Kobon. Versión preliminar, 2007" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 11/11/2017 . Consultado el 3 de marzo de 2008 .
- ^ Ed Pegg Jr. en juegos de matemáticas
- ^ "Código de Matlab que ilustra el procedimiento de D. Forge y JL Ramirez Alfonsin ", obtenido el 9 de mayo de 2012.
enlaces externos
- Johannes Bader, "Triángulos de Kobon"