Número de Kostka
En matemáticas , el número de Kostka K λμ (que depende de dos particiones enteras λ y μ) es un número entero no negativo que es igual al número de cuadros de Young semiestándar de forma λ y peso μ. Fueron introducidas por el matemático Carl Kostka en su estudio de funciones simétricas ( Kostka (1882) ). [1]
Por ejemplo, si λ = (3, 2) y μ = (1, 1, 2, 1), el número de Kostka K λμ cuenta el número de formas de llenar una colección de casillas alineadas a la izquierda con 3 en la primera fila y 2 en la segunda fila con 1 copia del número 1, 1 copia del número 2, 2 copias del número 3 y 1 copia del número 4 de modo que las entradas aumenten a lo largo de las columnas y no disminuyan a lo largo de las filas. Los tres cuadros de este tipo se muestran a la derecha y K (3, 2) (1, 1, 2, 1) = 3.
Para cualquier partición λ, el número de Kostka K λλ es igual a 1: la forma única de llenar el diagrama de Young de forma λ = (λ 1 , λ 2 , ..., λ m ) con λ 1 copias de 1, λ 2 copias de 2, y así sucesivamente, de modo que el cuadro resultante aumenta débilmente a lo largo de las filas y aumenta estrictamente a lo largo de las columnas si todos los 1 se colocan en la primera fila, todos los 2 se colocan en la segunda fila, y así sucesivamente. (Este cuadro a veces se denomina cuadro de Yamanouchi de forma λ).
El número de Kostka K λμ es positivo (es decir, existen cuadros de Young semiestándar de forma λ y peso μ) si y solo si λ y μ son particiones del mismo número entero ny λ es mayor que μ en orden de dominancia . [2]
En general, no se conocen fórmulas agradables para los números de Kostka. Sin embargo, se conocen algunos casos especiales. Por ejemplo, si μ = (1, 1, 1, ..., 1) es la partición cuyas partes son todas 1, entonces un cuadro de Young semiestándar de peso μ es un cuadro de Young estándar; el número de cuadros de Young estándar de una forma dada λ viene dado por la fórmula de la longitud del gancho .
Una propiedad simple importante de los números de Kostka es que K λμ no depende del orden de las entradas de μ. Por ejemplo, K (3, 2) (1, 1, 2, 1) = K (3, 2) (1, 1, 1, 2) . Esto no es inmediatamente obvio a partir de la definición, pero puede demostrarse estableciendo una biyección entre los conjuntos de cuadros de Young semiestándar de forma λ y pesos μ y μ ', donde μ y μ' difieren solo intercambiando dos entradas. [3]
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