En mecánica cuántica , la partícula en una red unidimensional es un problema que ocurre en el modelo de una red cristalina periódica . El potencial es causado por iones en la estructura periódica del cristal que crean un campo electromagnético, por lo que los electrones están sujetos a un potencial regular dentro de la red. Es una generalización del modelo de electrones libres , que supone un potencial cero dentro de la red.
Cuando se habla de materiales sólidos, la discusión gira principalmente en torno a los cristales: redes periódicas. Aquí discutiremos una red 1D de iones positivos. Suponiendo que el espacio entre dos iones es a , el potencial en la celosía se verá así:
La representación matemática del potencial es una función periódica con un período a . Según el teorema de Bloch , [1] la solución de la función de onda de la ecuación de Schrödinger cuando el potencial es periódico, se puede escribir como:
donde u ( x ) es una función periódica que satisface u ( x + a ) = u ( x ) . Es el factor de Bloch con exponente de Floquet. lo que da lugar a la estructura de bandas del espectro de energía de la ecuación de Schrödinger con un potencial periódico como el potencial de Kronig-Penney o una función coseno como en la ecuación de Mathieu.
Al acercarse a los bordes de la celosía, hay problemas con la condición de contorno. Por lo tanto, podemos representar la red de iones como un anillo que sigue las condiciones de frontera de Born-von Karman . Si L es la longitud de la red de modo que L ≫ a , entonces el número de iones en la red es tan grande que cuando se considera un ion, su entorno es casi lineal y la función de onda del electrón no cambia. Entonces, ahora, en lugar de dos condiciones de contorno, obtenemos una condición de contorno circular:
Si N es el número de iones en la red, entonces tenemos la relación: aN = L . Reemplazar la condición de contorno y aplicar el teorema de Bloch dará como resultado una cuantificación para k :
El modelo de Kronig-Penney (que lleva el nombre de Ralph Kronig y William Penney [2] ) es un sistema mecánico cuántico idealizado simple que consta de una matriz periódica infinita de barreras de potencial rectangulares .
La función potencial se aproxima por un potencial rectangular:
Usando el teorema de Bloch , solo necesitamos encontrar una solución para un solo período, asegurarnos de que sea continuo y uniforme, y asegurarnos de que la función u ( x ) también sea continua y uniforme.
Considerando un solo período del potencial:
Tenemos dos regiones aquí. Resolveremos para cada uno de forma independiente: Sea E un valor de energía por encima del pozo (E> 0)
- :
- :
Para encontrar u ( x ) en cada región, necesitamos manipular la función de onda del electrón:
Y de la misma manera:
Para completar la solución, debemos asegurarnos de que la función de probabilidad sea continua y uniforme, es decir:
Y que u ( x ) y u ′ ( x ) son periódicos:
Estas condiciones dan como resultado la siguiente matriz:
Para que tengamos una solución no trivial, el determinante de la matriz debe ser 0. Esto nos lleva a la siguiente expresión:
Para simplificar aún más la expresión, realizamos las siguientes aproximaciones:
La expresión ahora será:
Para los valores de energía dentro del pozo ( E <0), obtenemos:
con y .
Siguiendo las mismas aproximaciones que arriba (), llegamos a
con la misma fórmula para P que en el caso anterior.
El valor de la expresión a la que se equipara cos (ka) en la relación de dispersión, con P = 1,5. Las barras negras denotan regiones de
para lo cual se puede calcular k.
La relación de dispersión para el modelo de Kronig-Penney, con P = 1,5.
En el párrafo anterior, las únicas variables no determinadas por los parámetros del sistema físico son la energía E y el momento cristalino k . Al elegir un valor para E , se puede calcular el lado derecho y luego calcular k tomando elde ambos lados. Así, la expresión da lugar a la relación de dispersión .
El lado derecho de la última expresión anterior a veces puede ser mayor que 1 o menor que –1, en cuyo caso no hay ningún valor de k que pueda hacer que la ecuación sea verdadera. Desde, eso significa que hay ciertos valores de E para los cuales no hay funciones propias de la ecuación de Schrödinger. Estos valores constituyen la banda prohibida .
Por lo tanto, el modelo de Kronig-Penney es uno de los potenciales periódicos más simples para exhibir una banda prohibida.
Se da un tratamiento alternativo [3] a un problema similar. Aquí tenemos un potencial periódico delta :
A es una constante y a es la constante de celosía (el espacio entre cada sitio). Dado que este potencial es periódico, podríamos expandirlo como una serie de Fourier:
dónde
- .
La función de onda, usando el teorema de Bloch, es igual a dónde es una función que es periódica en la red, lo que significa que también podemos expandirla como una serie de Fourier:
Por tanto, la función de onda es:
Poniendo esto en la ecuación de Schroedinger, obtenemos:
o mejor:
Ahora reconocemos que:
Conecte esto a la ecuación de Schroedinger:
Resolviendo esto para obtenemos:
Sumamos esta última ecuación sobre todos los valores de K para llegar a:
O:
Convenientemente, cancelar salidas y obtenemos:
O:
Para ahorrarnos un esfuerzo de notación innecesario, definimos una nueva variable:
y finalmente nuestra expresión es:
Ahora, K es un vector reticular recíproco, lo que significa que una suma sobre K es en realidad una suma sobre múltiplos enteros de:
Podemos hacer malabares con esta expresión un poco para hacerla más sugerente (use la descomposición parcial de fracciones ):
Si usamos una identidad agradable de una suma de la función cotangente ( Ecuación 18 ) que dice:
y conectarlo a nuestra expresión llegamos a:
Usamos la suma de cot y luego el producto de pecado (que es parte de la fórmula para la suma de cot ) para llegar a:
Esta ecuación muestra la relación entre la energía (a través de α ) y el vector de onda, k , y como puede ver, dado que el lado izquierdo de la ecuación solo puede oscilar entre -1 y 1 , hay algunos límites en los valores. que α (y por lo tanto, la energía) puede tomar, es decir, en algunos rangos de valores de la energía, no hay solución de acuerdo con esta ecuación, y por lo tanto, el sistema no tendrá esas energías: brechas de energía. Estos son los llamados band-gap, que se puede demostrar que existen en cualquier forma de potencial periódico (no solo barreras delta o cuadradas).
Para un cálculo diferente y detallado de la fórmula de la brecha (es decir, para la brecha entre bandas) y el nivel de división de los valores propios de la ecuación de Schrödinger unidimensional, consulte Müller-Kirsten. [4] Los resultados correspondientes para el potencial coseno (ecuación de Mathieu) también se dan en detalle en esta referencia.