Subespacio de Krylov
En álgebra lineal , el orden- r subespacio de Krylov generado por una n- por- n matriz A y un vector b de dimensión n es el subespacio lineal generado por las imágenes de b bajo las primeras r potencias de A (comenzando desde ), que es, [1]
El concepto lleva el nombre del matemático aplicado e ingeniero naval ruso Alexei Krylov , quien publicó un artículo al respecto en 1931. [2]
Los subespacios de Krylov se utilizan en algoritmos para encontrar soluciones aproximadas a problemas de álgebra lineal de alta dimensión. [1]
Los métodos iterativos modernos , como la iteración de Arnoldi, se pueden utilizar para encontrar uno (o unos pocos) valores propios de matrices dispersas grandes o resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales. Intentan evitar operaciones matriz-matriz, sino que multiplican los vectores por la matriz y trabajan con los vectores resultantes. Comenzando con un vector , se calcula , luego se multiplica ese vector por para encontrar y así sucesivamente. Todos los algoritmos que funcionan de esta manera se denominan métodos subespaciales de Krylov; se encuentran entre los métodos más exitosos actualmente disponibles en álgebra lineal numérica.
Debido a que los vectores generalmente pronto se vuelven casi linealmente dependientes debido a las propiedades de la iteración de potencia , los métodos que se basan en el subespacio de Krylov con frecuencia involucran algún esquema de ortogonalización , como la iteración de Lanczos para matrices hermitianas o la iteración de Arnoldi para matrices más generales.
Los métodos subespaciales de Krylov más conocidos son Arnoldi , Lanczos , gradiente conjugado , IDR ( reducción de dimensión inducida), GMRES (residuo mínimo generalizado), BiCGSTAB (gradiente biconjugado estabilizado), QMR (residuo cuasi mínimo), TFQMR (transposición) QMR libre) y métodos de residuos mínimos.