En matemáticas , una matriz hermitiana (o matriz autoadjunta ) es una matriz cuadrada compleja que es igual a su propia transposición conjugada , es decir, el elemento en la i -ésima fila y j -ésima columna es igual al complejo conjugado de el elemento en la j -ésima fila y la i -ésima columna, para todos los índices i y j :
o en forma de matriz:
Las matrices hermitianas pueden entenderse como la extensión compleja de matrices simétricas reales .
Si la transpuesta conjugada de una matriz se denota por , entonces la propiedad hermitiana se puede escribir de forma concisa como
Las matrices hermitianas llevan el nombre de Charles Hermite , quien demostró en 1855 que las matrices de esta forma comparten una propiedad con las matrices simétricas reales de tener siempre valores propios reales . Otras notaciones equivalentes de uso común son, aunque tenga en cuenta que en la mecánica cuántica ,típicamente significa el conjugado complejo solamente, y no el transponer conjugado .
Caracterizaciones alternativas
Las matrices hermitianas se pueden caracterizar de varias formas equivalentes, algunas de las cuales se enumeran a continuación:
Igualdad con el adjunto
Una matriz cuadrada es hermitiano si y solo si es igual a su adjunto , es decir, satisface
Esta es también la forma en que se define el concepto más general de operador autoadjunto .
Realidad de formas cuadráticas
Una matriz cuadrada es hermitiano si y solo si
Propiedades espectrales
Una matriz cuadrada es hermitiano si y solo si es unitariamente diagonalizable con valores propios reales .
Aplicaciones
Las matrices hermitianas son fundamentales para la teoría cuántica de la mecánica matricial creada por Werner Heisenberg , Max Born y Pascual Jordan en 1925.
Ejemplos de
En esta sección, la transpuesta conjugada de matrix se denota como , la transposición de matrix se denota como y conjugado de matriz se denota como .
Vea el siguiente ejemplo:
Los elementos diagonales deben ser reales , ya que deben ser su propio conjugado complejo.
Las familias conocidas de matrices hermitianas incluyen las matrices de Pauli , las matrices de Gell-Mann y sus generalizaciones. En física teórica, estas matrices hermitianas a menudo se multiplican por coeficientes imaginarios , [1] [2] lo que da como resultado matrices sesgadas-hermitianas .
Aquí, ofrecemos otra matriz hermitiana útil usando un ejemplo abstracto. Si una matriz cuadradaes igual a la multiplicación de una matriz y su transpuesta conjugada, es decir,, luego es una matriz semidefinida positiva hermitiana . Además, si es fila de rango completo, entonces es positivo definido.
Propiedades
- Las entradas en la diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) de cualquier matriz hermitiana son reales .
- Prueba: por definición de la matriz hermitiana
- así que para i = j lo anterior sigue.
- Sólo las entradas diagonales principales son necesariamente reales; Las matrices hermitianas pueden tener entradas arbitrarias de valores complejos en sus elementos fuera de la diagonal , siempre que las entradas diagonalmente opuestas sean conjugados complejos.
- Una matriz que solo tiene entradas reales es simétrica si y solo si es una matriz hermitiana. Una matriz real y simétrica es simplemente un caso especial de una matriz hermitiana.
- Prueba:por definición. Por lo tanto (simetría matricial) si y solo si ( es real).
- Entonces, si una matriz antisimétrica real se multiplica por un múltiplo de la unidad imaginaria , luego se vuelve hermitiano.
- Toda matriz hermitiana es una matriz normal . Es decir,.
- Prueba:, entonces .
- El teorema espectral de dimensión finita dice que cualquier matriz hermitiana puede ser diagonalizada por una matriz unitaria , y que la matriz diagonal resultante solo tiene entradas reales. Esto implica que todos los valores propios de una matriz hermitiana A con dimensión n son reales, y que A tiene n vectores propios linealmente independientes . Además, una matriz hermitiana tiene vectores propios ortogonales para valores propios distintos. Incluso si hay valores propios degenerados, siempre es posible encontrar una base ortogonal de ℂ n que consiste en n vectores propios de A .
- La suma de cualesquiera dos matrices hermitianas es hermitiana.
- Prueba: como se afirma.
- La inversa de una matriz hermitiana invertible también es hermitiana.
- Prueba: si , luego , entonces como se afirma.
- El producto de dos matrices hermitianas A y B es hermitiano si y solo si AB = BA .
- Prueba: tenga en cuenta que Por lo tanto si y solo si.
- Por tanto, A n es hermitiano si A es hermitiano y n es un número entero.
- Si A y B son hermitianos, ABA también es hermitiano.
- Para un vector arbitrario de valores complejos v el producto es real debido a . Esto es especialmente importante en la física cuántica, donde las matrices hermitianas son operadores que miden las propiedades de un sistema, por ejemplo, el giro total que debe ser real.
- Las matrices hermitianas complejas n- por- n no forman un espacio vectorial sobre los números complejos , ℂ , ya que la matriz identidad I n es hermitiana, pero i I n no lo es. Sin embargo las matrices complejas hermitianos hacen formar un espacio vectorial sobre el verdadero número ℝ . En el 2 n 2 - dimensional espacio vectorial de complejo de n × n matrices sobre ℝ , las complejas matrices hermitianos forman un subespacio de dimensión n 2 . Si E jk denota la matriz n- por- n con un 1 en la posición j , k y ceros en cualquier otro lugar, una base (ortonormal con respecto al producto interno de Frobenius) se puede describir de la siguiente manera:
- junto con el conjunto de matrices de la forma
- y las matrices
- dónde denota el número complejo , llamada unidad imaginaria .
- Si n vectores propios ortonormalesde una matriz hermitiana se eligen y escriben como las columnas de la matriz U , entonces una descomposición propia de A es dónde y por lo tanto
- dónde son los valores propios en la diagonal de la matriz diagonal .
- El determinante de una matriz hermitiana es real:
- Prueba:
- Por tanto, si .
- (Alternativamente, el determinante es el producto de los valores propios de la matriz y, como se mencionó anteriormente, los valores propios de una matriz hermitiana son reales).
Descomposición en hermitiano y sesgado-hermitiano
Los hechos adicionales relacionados con las matrices hermitianas incluyen:
- La suma de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es hermitiano.
- La diferencia de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es sesgado-hermitiano (también llamado antihermitiano). Esto implica que el conmutador de dos matrices hermitianas es sesgado-hermitiano.
- Una matriz cuadrada arbitraria C puede escribirse como la suma de una matriz hermitiana A y un hemi-hermitiana de la matriz B . Esto se conoce como la descomposición Toeplitz de C . [3] : pág. 7
Cociente de Rayleigh
En matemáticas, para una matriz Hermitiana compleja dada M y un vector x distinto de cero , el cociente de Rayleigh [4] , se define como: [3] : p. 234 [5]
Para matrices y vectores reales, la condición de ser hermitiano se reduce a la de ser simétrico, y la transposición conjugada a la transposición habitual . Tenga en cuenta que para cualquier escalar real distinto de cero . Además, recuerde que una matriz hermitiana (o simétrica real) tiene valores propios reales.
Se puede demostrar [ cita requerida ] que, para una matriz dada, el cociente de Rayleigh alcanza su valor mínimo (el valor propio más pequeño de M) cuando es (el vector propio correspondiente). Similar, y .
El cociente de Rayleigh se utiliza en el teorema mínimo-máximo para obtener valores exactos de todos los valores propios. También se utiliza en algoritmos de valores propios para obtener una aproximación de valores propios a partir de una aproximación de vectores propios. Específicamente, esta es la base para la iteración del cociente de Rayleigh.
El rango del cociente de Rayleigh (para una matriz que no es necesariamente hermitiana) se denomina rango numérico (o espectro en el análisis funcional). Cuando la matriz es hermitiana, el rango numérico es igual a la norma espectral. Todavía en análisis funcional,se conoce como radio espectral. En el contexto de C * -álgebras o mecánica cuántica algebraica, la función que a M asocia el cociente de Rayleigh R ( M , x ) para una x fija y M que varía a través del álgebra se denominaría "estado vectorial" del álgebra. .
Ver también
- Espacio vectorial
- Matriz oblicua-hermitiana (matriz antihermitiana)
- Fórmula de aditividad de inercia de Haynsworth
- Forma hermitiana
- Operador autoadjunto
- Matriz unitaria
- Matriz normal
Referencias
- ^ Frankel, Theodore (2004). La geometría de la física: una introducción . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 652. ISBN 0-521-53927-7.
- ^ Notas del curso de Física 125 en el Instituto de Tecnología de California
- ^ a b Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, segunda edición . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521839402.
- ^ También conocida como relación Rayleigh-Ritz ; nombrado en honor a Walther Ritz y Lord Rayleigh .
- ^ Parlet BN El problema de valor propio simétrico , SIAM, Clásicos en matemáticas aplicadas, 1998
enlaces externos
- "Matriz Hermitiana" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Visualizar la matriz hermitiana como una elipse con el Dr. Geo , por Chao-Kuei Hung de la Universidad de Chaoyang, ofrece una explicación más geométrica.
- "Matrices Hermitian" . MathPages.com .