En álgebra lineal , el orden- r subespacio de Krylov generado por una n- por- n matriz A y un vector b de dimensión n es el subespacio lineal generado por las imágenes de b bajo las primeras r potencias de A (a partir de), es decir, [1]
Fondo
El concepto lleva el nombre del matemático aplicado e ingeniero naval ruso Alexei Krylov , quien publicó un artículo al respecto en 1931. [2]
Propiedades
- .
- Vectores son linealmente independientes hasta , y . Por lo tanto, denota la dimensión máxima de un subespacio de Krylov.
- La dimensión máxima satisface y .
- Más exactamente, , dónde es el polinomio mínimo de. Además, existe un tal que .
- es un submódulo cíclico generado por de la torsión -módulo , dónde es el espacio lineal en .
- se puede descomponer como la suma directa de los subespacios de Krylov.
Usar
Los subespacios de Krylov se utilizan en algoritmos para encontrar soluciones aproximadas a problemas de álgebra lineal de alta dimensión. [1]
Los métodos iterativos modernos , como la iteración de Arnoldi, se pueden utilizar para encontrar uno (o unos pocos) valores propios de matrices dispersas grandes o resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales. Intentan evitar operaciones matriz-matriz, sino que multiplican los vectores por la matriz y trabajan con los vectores resultantes. Comenzando con un vector, uno calcula , luego uno multiplica ese vector por encontrar y así. Todos los algoritmos que funcionan de esta manera se denominan métodos subespaciales de Krylov; se encuentran entre los métodos más exitosos actualmente disponibles en álgebra lineal numérica.
Asuntos
Debido a que los vectores generalmente pronto se vuelven casi linealmente dependientes debido a las propiedades de la iteración de potencia , los métodos que se basan en el subespacio de Krylov frecuentemente involucran algún esquema de ortogonalización , como la iteración de Lanczos para matrices hermitianas o la iteración de Arnoldi para matrices más generales.
Métodos existentes
Los métodos subespaciales de Krylov más conocidos son Arnoldi , Lanczos , gradiente conjugado , IDR ( reducción de dimensión inducida), GMRES (residuo mínimo generalizado), BiCGSTAB (gradiente biconjugado estabilizado), QMR (residuo cuasi mínimo), TFQMR (transposición) free QMR) y métodos MINRES (residuo mínimo).
Ver también
- Método iterativo , que tiene una sección sobre métodos subespaciales de Krylov
Referencias
- ↑ a b Simoncini, Valeria (2015), "Krylov Subspaces", en Nicholas J. Higham; et al. (eds.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, págs. 113-114
- ^ Krylov, AN (1931). "О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем " [En la solución numérica de la ecuación por la que se determinan en los Problemas Técnicos Frecuencias de pequeñas vibraciones de los sistemas materiales]. Izvestiia Akademii nauk SSSR (en ruso). 7 (4): 491–539.
Otras lecturas
- Nevanlinna, Olavi (1993). Convergencia de iteraciones para ecuaciones lineales . Conferencias de Matemáticas ETH Zürich. Basilea: Birkhäuser Verlag. págs. viii + 177 págs. ISBN 3-7643-2865-7. Señor 1217705 .
- Saad, Yousef (2003). Métodos iterativos para sistemas lineales dispersos (2ª ed.). SIAM . ISBN 0-89871-534-2. OCLC 51266114 .
- Gerard Meurant y Jurjen Duintjer Tebbens: "Métodos de Krylov para sistemas lineales no simétricos - De la teoría a los cálculos", Serie Springer en Matemáticas Computacionales, vol.57, (octubre de 2020). ISBN 978-3-030-55250-3 , url = https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0 .
- Iman Farahbakhsh: "Métodos subespaciales de Krylov con aplicación en solucionadores de flujo de fluidos incompresibles", Wiley, ISBN 978-1119618683 (septiembre de 2020).