Punto singular regular

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En matemáticas , en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias en el plano complejo , los puntos de se clasifican en puntos ordinarios , en los que los coeficientes de la ecuación son funciones analíticas , y puntos singulares , en los que algún coeficiente tiene una singularidad . Luego, entre los puntos singulares, se hace una distinción importante entre un punto singular regular , donde el crecimiento de las soluciones está limitado (en cualquier sector pequeño) por una función algebraica, y un punto singular irregular , donde el conjunto completo de soluciones requiere funciones con mayor crecimiento. tarifas. Esta distinción se da, por ejemplo, entre el${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ecuación hipergeométrica , con tres puntos singulares regulares, y la ecuación de Bessel que es en cierto sentido un caso límite , pero donde las propiedades analíticas son sustancialmente diferentes.

Definiciones formales

Más precisamente, considere una ecuación diferencial lineal ordinaria de n -ésimo orden

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0}$

con p _i ( z ) funciones meromórficas . Uno puede asumir que

${\displaystyle p_{n}(z)=1.}$

Si este no es el caso, la ecuación anterior debe dividirse por p _n ( x ). Esto puede introducir puntos singulares a considerar.

La ecuación debe estudiarse en la esfera de Riemann para incluir el punto en el infinito como un posible punto singular. Se puede aplicar una transformación de Möbius para mover ∞ a la parte finita del plano complejo si es necesario; consulte el ejemplo de la ecuación diferencial de Bessel a continuación.

A continuación, el método de Frobenius basado en la ecuación indicial se puede aplicar para encontrar posibles soluciones que son veces en serie de potencias poderes complejos ( z - a ) ^r cerca de cualquier dado una en el plano complejo, donde r no tiene que ser un número entero; esta función puede existir, por lo tanto, solo gracias a un corte de rama que se extiende desde a , o en una superficie de Riemann de algún disco perforado alrededor de a . Esto no presenta ninguna dificultad para un punto ordinario ( Lazarus Fuchs 1866). Cuando a es unpunto singular regular , que por definición significa que

${\displaystyle p_{n-i}(z)}$

tiene un polo de orden como máximo i en a , el método de Frobenius también se puede hacer funcionar y proporcionar n soluciones independientes cerca de a .

De lo contrario, el punto a es una singularidad irregular . En ese caso, el grupo de monodromía que relaciona soluciones por continuación analítica tiene menos que decir en general, y las soluciones son más difíciles de estudiar, excepto en términos de sus expansiones asintóticas. La irregularidad de una singularidad irregular se mide por el rango de Poincaré ( Arscott (1995) ). harvtxt error: no target: CITEREFArscott1995 (help)

La condición de regularidad es una especie de condición de polígono de Newton , en el sentido de que los polos permitidos están en una región, cuando se trazan contra i , delimitados por una línea a 45 ° de los ejes.

Una ecuación diferencial ordinaria cuyos únicos puntos singulares, incluido el punto en el infinito, son puntos singulares regulares se denomina fucsia. ecuación diferencial ordinaria.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales de segundo orden

En este caso, la ecuación anterior se reduce a:

${\displaystyle f''(x)+p_{1}(x)f'(x)+p_{0}(x)f(x)=0.}$

Se distinguen los siguientes casos:

• El punto a es un punto ordinario cuando las funciones p ₁ ( x ) y p ₀ ( x ) son analíticas en x = a .
• El punto a es un punto singular regular si p ₁ ( x ) tiene un polo hasta el orden 1 en x = a y p ₀ tiene un polo de orden hasta 2 en x = a .
• De lo contrario, el punto a es un punto singular irregular .

Podemos verificar si hay un punto singular irregular en el infinito usando la sustitución y las relaciones:${\displaystyle w=1/x}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=-w^{2}{\frac {df}{dw}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=w^{4}{\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+2w^{3}{\frac {df}{dw}}}$

De este modo, podemos transformar la ecuación en una ecuación en w y comprobar lo que sucede en w = 0. Si y son cocientes de polinomios, entonces habrá un punto singular irregular en infinito x a menos que el polinomio en el denominador de sea ​​de grado al menos uno más que el grado de su numerador y el denominador de sea ​​de grado al menos dos más que el grado de su numerador.${\displaystyle p_{1}(x)}$${\displaystyle p_{2}(x)}$${\displaystyle p_{1}(x)}$${\displaystyle p_{2}(x)}$

A continuación se enumeran varios ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de la física matemática que tienen puntos singulares y soluciones conocidas.

Ecuación diferencial de Bessel

Ésta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Se encuentra en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas :

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})f=0}$

para un número arbitrario real o complejo α (el orden de la función de Bessel ). El caso especial más común e importante es donde α es un número entero n .

Dividiendo esta ecuación por x ² da:

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {df}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)f=0.}$

En este caso p ₁ ( x ) = 1 / x tiene un polo de primer orden en x = 0. Cuando α ≠ 0 p ₀ ( x ) = (1 - α ² / x ² ) tiene un polo de segundo orden en x = 0. Por tanto, esta ecuación tiene una singularidad regular en 0.

Para ver qué sucede cuando x → ∞ hay que usar una transformación de Möbius , por ejemplo . Después de realizar el álgebra:${\displaystyle x=1/w}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}\right]f=0}$

Ahora, a ,${\displaystyle w=0}$

${\displaystyle p_{1}(w)={\frac {1}{w}}}$

tiene un poste de primer orden, pero

${\displaystyle p_{0}(w)={\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}}$

Tiene un polo de cuarto orden. Por lo tanto, esta ecuación tiene una singularidad irregular correspondiente ax en ∞.${\displaystyle w=0}$

Ecuación diferencial de Legendre

Ésta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Se encuentra en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}f\right]+l(l+1)f=0.}$

Abrir el corchete da:

${\displaystyle (1-x^{2}){d^{2}f \over dx^{2}}-2x{df \over dx}+l(l+1)f=0.}$

Y dividiendo por (1 -  x ² ):

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-{\frac {2x}{1-x^{2}}}{\frac {df}{dx}}+{\frac {l(l+1)}{1-x^{2}}}f=0.}$

Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en ± 1 y ∞.

Ecuación diferencial de Hermite

Uno encuentra esta ecuación diferencial ordinaria de segundo orden al resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo unidimensional

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi }$

para un oscilador armónico . En este caso, la energía potencial V ( x ) es:

${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

Esto conduce a la siguiente ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-2x{\frac {df}{dx}}+\lambda f=0.}$

Esta ecuación diferencial tiene una singularidad irregular en ∞. Sus soluciones son polinomios de Hermite .

Ecuación hipergeométrica

La ecuación se puede definir como

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df}{dz}}-abf=0.}$

Dividir ambos lados por z (1 -  z ) da:

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+{\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}{\frac {df}{dz}}-{\frac {ab}{z(1-z)}}f=0.}$

Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en 0, 1 y ∞. Una solución es la función hipergeométrica .

Referencias

• Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: McGraw-Hill .
• ET Copson , Introducción a la teoría de las funciones de una variable compleja (1935)
• Fedoryuk, MV (2001) [1994], "Ecuación fucsiana" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• AR Forsyth Teoría de ecuaciones diferenciales Vol. IV: Ecuaciones lineales ordinarias (Cambridge University Press, 1906)
• Édouard Goursat , Un curso de análisis matemático, Volumen II, Parte II: Ecuaciones diferenciales págs. 128 − ss. (Ginn y compañía, Boston, 1917)
• EL Ince, Ecuaciones diferenciales ordinarias , Publicaciones de Dover (1944)
• Il'yashenko, Yu. S. (2001) [1994], "Punto singular regular" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• TM Funciones de MacRobert de una variable compleja pág. 243 (MacMillan, Londres, 1917)
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• ET Whittaker y GN Watson Un curso de análisis moderno págs. 188-y sigs. (Cambridge University Press, 1915)