En la teoría de filtrado, la ecuación de Kushner (después de Harold Kushner ) es una ecuación para la densidad de probabilidad condicional del estado de un sistema dinámico estocástico no lineal , dadas las mediciones ruidosas del estado. [1] Por lo tanto, proporciona la solución del problema del filtrado no lineal en la teoría de la estimación . La ecuación se refiere a veces como la Stratonovich-Kushner [2] [3] [4] [5] (o Kushner-Stratonovich) ecuación . Sin embargo, la ecuación correcta en términos deEl cálculo de Itō fue derivado por primera vez por Kushner, aunque ya apareció una versión más heurística de Stratonovich en las obras de Stratonovich a finales de los años cincuenta. Sin embargo, la derivación en términos del cálculo de Itō se debe a Richard Bucy. [6] [ aclaración necesaria ]
Descripción general
Suponga que el estado del sistema evoluciona de acuerdo con
y una medición ruidosa del estado del sistema está disponible:
donde w , v son procesos de Wiener independientes . Entonces, la densidad de probabilidad condicional p ( x , t ) del estado en el tiempo t viene dada por la ecuación de Kushner:
dónde es el operador de Kolmogorov Forward y es la variación de la probabilidad condicional.
El termino es la innovación, es decir, la diferencia entre la medición y su valor esperado.
Filtro de Kalman-Bucy
Uno puede simplemente usar la ecuación de Kushner para derivar el filtro de Kalman-Bucy para un proceso de difusión lineal. Supongamos que tenemos y . La ecuación de Kushner vendrá dada por
dónde es la media de la probabilidad condicional en el momento . Multiplicar por e integrando sobre él, obtenemos la variación de la media
Asimismo, la variación de la varianza es dado por
La probabilidad condicional viene dada en cada instante por una distribución normal .
Ver también
Referencias
- ^ Kushner, HJ (1964). "Sobre las ecuaciones diferenciales satisfechas por densidades de probabilidad condicionales de procesos de Markov, con aplicaciones". J. SIAM Control Ser. Una . 2 (1): 106-119. doi : 10.1137 / 0302009 .
- ^ Stratonovich, RL (1959). Sistemas óptimos no lineales que provocan la separación de una señal con parámetros constantes del ruido . Radiofizika, 2: 6, págs. 892–901.
- ^ Stratonovich, RL (1959). Sobre la teoría del filtrado no lineal óptimo de funciones aleatorias . Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, 4, págs. 223-225.
- ^ Stratonovich, RL (1960) Aplicación de la teoría de los procesos de Markov al filtrado óptimo . Ingeniería de radio y física electrónica, 5:11, págs. 1–19.
- ^ Stratonovich, RL (1960). Procesos condicionales de Markov . Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, 5, págs. 156-178.
- ^ Bucy, RS (1965). "Teoría del filtrado no lineal". Transacciones IEEE sobre control automático . 10 (2): 198. doi : 10.1109 / TAC.1965.1098109 .