En la teoría de procesos estocásticos , el problema de filtrado es un modelo matemático para una serie de problemas de estimación de estado en el procesamiento de señales y campos relacionados. La idea general es establecer una "mejor estimación" para el valor real de algún sistema a partir de un conjunto de observaciones incompletas y potencialmente ruidosas en ese sistema. El problema de filtrado no lineal óptima (incluso para el caso no estacionario) se resolvió por Ruslan L. Stratonovich (1959, [1] 1960 [2] ), consulta Harold J. Kushner trabajo 's [3] y Moshe Zakai , quien introdujo una dinámica simplificada para la ley condicional no normalizada del filtro.[4] conocida como ecuación de Zakai . La solución, sin embargo, es de dimensión infinita en el caso general. [5] Ciertas aproximaciones y casos especiales se entienden bien: por ejemplo, los filtros lineales son óptimos para las variables aleatorias gaussianas, y se conocen como el filtro de Wiener y el filtro de Kalman-Bucy . De manera más general, como la solución es de dimensión infinita, requiere que se implementen aproximaciones de dimensión finita en una computadora con memoria finita. Un filtro no lineal aproximado de dimensión finitapuede basarse más en heurísticas, como el Filtro Kalman Extendido o los Filtros de Densidad Supuesta, [6] o más orientado metodológicamente como, por ejemplo, los Filtros de Proyección, [7] algunas subfamilias de las cuales son se muestra que coincide con los filtros de densidad asumida. [8]
En general, si se aplica el principio de separación , el filtrado también surge como parte de la solución de un problema de control óptimo . Por ejemplo, el filtro de Kalman es la parte de estimación de la solución de control óptima para el problema de control lineal-cuadrático-gaussiano .
El formalismo matemático
Considere un espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ) y suponga que el estado (aleatorio) Y t en el espacio euclidiano n - dimensional R n de un sistema de interés en el tiempo t es una variable aleatoria Y t : Ω → R n dada por la solución a una ecuación diferencial estocástica de Itō de la forma
donde B denota el movimiento browniano p -dimensional estándar , b : [0, + ∞) × R n → R n es el campo de deriva, y σ : [0, + ∞) × R n → R n × p es el campo de difusión . Se supone que las observaciones H t en R m (nota que m y n pueden, en general, ser desigual) se toman para cada tiempo t de acuerdo con
Adopción de la interpretación de Itō del ajuste y diferencial estocástico
esto da la siguiente representación integral estocástica para las observaciones Z t :
donde W denota el movimiento browniano r- dimensional estándar , independiente de B y la condición inicial Y 0 , yc : [0, + ∞) × R n → R n y γ : [0, + ∞) × R n → R n × r satisfacer
para todos t y x y alguna constante C .
El problema de filtrado es el siguiente: dadas las observaciones Z s para 0 ≤ s ≤ t , ¿cuál es la mejor estimación Ŷ t del estado verdadero Y t del sistema basada en esas observaciones?
Por "basado en esas observaciones" se entiende que Ŷ t es medible con respecto al σ -álgebra G t generada por las observaciones Z s , 0 ≤ s ≤ t . Denote por K = K ( Z , t ) sea una colección de todas las variables aleatorias Y valoradas con R n que son integrables en cuadrado y G t- medibles:
Por "mejor estimación", se entiende que Ŷ t minimiza la distancia cuadrática media entre Y t y todos los candidatos en K :
Resultado básico: proyección ortogonal
El espacio K ( Z , t ) de los candidatos es un espacio de Hilbert , y la teoría general de los espacios de Hilbert implica que la solución Ŷ t del problema de minimización (M) está dada por
donde P K ( Z , t ) denota la proyección ortogonal de L 2 (Ω, Σ, P ; R n ) sobre el subespacio lineal K ( Z , t ) = L 2 (Ω, G t , P ; R n ). Además, es un hecho general acerca de las expectativas condicionales que si F es cualquier sub- σ -álgebra de Σ entonces la proyección ortogonal
es exactamente el operador de expectativa condicional E [· | F ], es decir,
Por eso,
Este resultado elemental es la base de la ecuación general de Fujisaki-Kallianpur-Kunita de la teoría de filtrado.
Ver también
- El problema de suavizado está estrechamente relacionado con el problema de filtrado .
- Filtrado (desambiguación)
- No confundir con Filtro (procesamiento de señal)
- Kalman filtra el algoritmo de filtrado más famoso en el sentido de "problema de filtrado" y "problema de suavizado".
- Suavizado (no confundir con el problema de Suavizado)
- Suavizado (desambiguación)
Referencias
- Jazwinski, Andrew H. (1970). Procesos estocásticos y teoría de filtrado . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-381550-9.
- Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (Ver sección 6.1)
- ^ Stratonovich, RL (1959). Sistemas óptimos no lineales que provocan la separación de una señal con parámetros constantes del ruido . Radiofizika, 2: 6, págs. 892-901.
- ^ Stratonovich, RL (1960). Aplicación de la teoría de los procesos de Markov al filtrado óptimo . Ingeniería de radio y física electrónica, 5:11, pp.1-19.
- ^ Kushner, Harold. (1967). Filtrado no lineal: las ecuaciones dinámicas exactas satisfechas por el modo condicional. Control automático, transacciones IEEE en el volumen 12, número 3, junio de 1967 Página (s): 262 - 267
- ^ Zakai, Moshe (1969), Sobre el filtrado óptimo de los procesos de difusión. Zeit. Wahrsch. 11 230–243. SEÑOR242552 , Zbl 0164.19201 , doi : 10.1007 / BF00536382
- ^ Mireille Chaleyat-Maurel y Dominique Michel. Des resultats de nonistence de filtre de dimension finie. Estocásticos, 13 (1 + 2): 83-102, 1984.
- ^ Maybeck, Peter S., Modelos estocásticos, estimación y control, Volumen 141, Serie Matemáticas en ciencia e ingeniería, 1979, Academic Press
- ^ Damiano Brigo, Bernard Hanzon y François LeGland, Un enfoque geométrico diferencial para el filtrado no lineal: el filtro de proyección, IEEE Transactions on Automatic Control Vol. 43, 2 (1998), págs. 247-252.
- ^ Damiano Brigo , Bernard Hanzon y François Le Gland , Filtrado no lineal aproximado por proyección en colectores exponenciales de densidades, Bernoulli, vol. 5, N. 3 (1999), págs. 495-534