Función integrable cuadrada

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En matemáticas , una función integrable al cuadrado , también llamada función o función integrable cuadráticamente , ^[1] es una función medible de valor real o complejo para la cual la integral del cuadrado del valor absoluto es finita. Por lo tanto, la integrabilidad cuadrada en la línea real se define de la siguiente manera.${\ estilo de visualización L^{2}}$${\displaystyle (-\infty,+\infty)}$

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{cuadrado integrable}}\quad \iff \quad \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)| ^{2}\,\mathrm {d} x<\infty}$

También se puede hablar de integrabilidad cuadrática sobre intervalos acotados como para . ^[2]${\ estilo de visualización [a, b]}$${\ estilo de visualización a \ leq b}$

${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} {\text{cuadrado integrable en }}[a,b]\quad \iff \quad \int _{a}^{b}|f( x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty}$

Una definición equivalente es decir que el cuadrado de la función en sí (en lugar de su valor absoluto) es integrable de Lebesgue . Para que esto sea cierto, las integrales de las partes positiva y negativa de la parte real deben ser finitas, al igual que las de la parte imaginaria.

El espacio vectorial de funciones cuadradas integrables (con respecto a la medida de Lebesgue) forma el espacio L ^p con . Entre los espacios L ^p , la clase de funciones cuadradas integrables es única en ser compatible con un producto interior , lo que permite definir nociones como ángulo y ortogonalidad. Junto con este producto interno, las funciones cuadradas integrables forman un espacio de Hilbert , ya que todos los espacios L ^p son completos bajo sus respectivas normas p .${\ estilo de visualización p = 2}$

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