Momento L


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En estadística , los momentos L son una secuencia de estadísticas que se utilizan para resumir la forma de una distribución de probabilidad . [1] [2] [3] [4] Son combinaciones lineales de estadísticas de orden ( estadísticas L ) análogas a los momentos convencionales , y se pueden usar para calcular cantidades análogas a la desviación estándar , la asimetría y la curtosis , denominadas escala L , L-asimetría y L-curtosis respectivamente (la media L es idéntica a la media convencional ). Los momentos L estandarizados se denominan relaciones de momentos Ly son análogos a los momentos estandarizados . Al igual que para los momentos convencionales, una distribución teórica tiene un conjunto de momentos L de población. Los momentos L de muestra se pueden definir para una muestra de la población y se pueden utilizar como estimadores de los momentos L de la población.

Momentos L de población

Para una variable aleatoria X , el momento L r- ésimo de la población es [1]

donde X k: n denota el estadístico de k- ésimo orden ( k- ésimo valor más pequeño) en una muestra independiente de tamaño n de la distribución de X y denota el valor esperado . En particular, los primeros cuatro momentos L poblacionales son

Tenga en cuenta que los coeficientes de la k -ésima L-momento son los mismos que en el k término-ésimo de la transformada binomial , como se usa en el k -order diferencias finitas (finito análogo al derivado).

Los dos primeros de estos momentos L tienen nombres convencionales:

La escala L es igual a la mitad de la diferencia media . [5]

Muestra de momentos L

Los momentos L de la muestra se pueden calcular como los momentos L de la población de la muestra, sumando los subconjuntos de elementos r de la muestra, por lo tanto, promediando dividiendo por el coeficiente binomial :

Agruparlos por orden estadístico cuenta el número de formas en que un elemento de una muestra de n elementos puede ser el j- ésimo elemento de un subconjunto de r elementos, y produce fórmulas de la forma siguiente. Los estimadores directos para los primeros cuatro momentos L en una muestra finita de n observaciones son: [6]

donde x ( i ) es el estadístico de i- ésimo orden y es un coeficiente binomial . Los momentos L de muestra también se pueden definir indirectamente en términos de momentos ponderados por probabilidad , [1] [7] [8] lo que conduce a un algoritmo más eficiente para su cálculo. [6] [9]

Relaciones de momento L

Un conjunto de relaciones de momentos L, o momentos L escalados, se define por

El más útil de estos son , llamado L-asimetría , y , la L-curtosis .

Las razones de los momentos L se encuentran dentro del intervalo (-1, 1). Se pueden encontrar límites más estrechos para algunas relaciones de momento L específicas; en particular, la L-curtosis se encuentra en [-¼, 1), y

[1]

También se puede definir una cantidad análoga al coeficiente de variación , pero basada en los momentos L: que se denomina "coeficiente de variación L" o "L-CV". Para una variable aleatoria no negativa, esta se encuentra en el intervalo (0,1) [1] y es idéntica al coeficiente de Gini . [10]

Cantidades relacionadas

Los momentos L son cantidades estadísticas que se derivan de momentos ponderados por probabilidad [11] (PWM) que se definieron anteriormente (1979). [7] Los PWM se utilizan para estimar de manera eficiente los parámetros de distribuciones expresables en forma inversa, como las distribuciones de Gumbel , [8] Tukey y Wakeby.

Uso

Hay dos formas comunes en que se utilizan los momentos L, en ambos casos de forma análoga a los momentos convencionales:

  1. Como resumen estadístico de los datos.
  2. Derivar estimadores para los parámetros de distribuciones de probabilidad , aplicando el método de momentos a los momentos L en lugar de a los momentos convencionales.

Además de hacer esto con momentos estándar, el último (estimación) se hace más comúnmente usando métodos de máxima verosimilitud ; sin embargo, el uso de momentos L proporciona una serie de ventajas. Específicamente, los momentos L son más robustos que los momentos convencionales, y la existencia de momentos L más altos solo requiere que la variable aleatoria tenga una media finita. Una desventaja de las relaciones de momento L para la estimación es su sensibilidad típicamente menor. Por ejemplo, la distribución de Laplace tiene una curtosis de 6 y colas exponenciales débiles, pero una relación de 4º momento L mayor que, por ejemplo, la distribución t de student con gl = 3, que tiene una curtosis infinita y colas mucho más pesadas.

Como ejemplo, considere un conjunto de datos con algunos puntos de datos y un valor de datos periférico. Si se toma la desviación estándar ordinaria de este conjunto de datos, este punto estará muy influenciado; sin embargo, si se toma la escala L, será mucho menos sensible a este valor de datos. En consecuencia, los momentos L son mucho más significativos cuando se trata de valores atípicos en los datos que los momentos convencionales. Sin embargo, también existen otros métodos más adecuados para lograr una robustez aún mayor que simplemente reemplazar momentos por momentos L. Un ejemplo de esto es el uso de momentos L como estadísticos de resumen en la teoría de valores extremos  (EVT). Esta aplicación muestra la robustez limitada de los momentos L, es decir, las estadísticas L no son estadísticas resistentes, ya que un solo valor extremo puede desviarlos, pero debido a que son solo lineales (no estadísticas de orden superior ), se ven menos afectados por los valores extremos que los momentos convencionales.

Otra ventaja que tienen los momentos L sobre los momentos convencionales es que su existencia solo requiere que la variable aleatoria tenga una media finita, por lo que los momentos L existen incluso si los momentos convencionales más altos no existen (por ejemplo, para la distribución t de Student con grados bajos de libertad ). Además, se requiere una varianza finita para que los errores estándar de las estimaciones de los momentos L sean finitos. [1]

Algunas apariciones de los momentos L en la literatura estadística incluyen el libro de David & Nagaraja (2003, Sección 9.9) [12] y varios artículos. [10] [13] [14] [15] [16] [17] Se han informado varias comparaciones favorables de los momentos L con los momentos ordinarios. [18] [19]

Valores para algunas distribuciones comunes

La siguiente tabla proporciona expresiones para los dos primeros momentos L y valores numéricos de las dos primeras relaciones de momentos L de algunas distribuciones de probabilidad continuas comunes con relaciones de momentos L constantes. [1] [5] expresiones más complejas se han derivado para algunas distribuciones adicionales para los que las relaciones de L-momento varían con uno o más de los parámetros de distribución, incluyendo el log-normal , Gamma , generalizada Pareto , valor extremo generalizado , y generalizada distribuciones logísticas . [1]

La notación para los parámetros de cada distribución es la misma que se usa en el artículo vinculado. En la expresión de la media de la distribución de Gumbel, γ es la constante de Euler-Mascheroni 0.57721 ....

Extensiones

Los momentos L recortados son generalizaciones de los momentos L que dan peso cero a las observaciones extremas. Por lo tanto, son más robustos a la presencia de valores atípicos y, a diferencia de los momentos L, pueden estar bien definidos para distribuciones para las que no existe la media, como la distribución de Cauchy . [20]

Ver también

  • Estimador L

Referencias

  1. ↑ a b c d e f g h Hosking, JRM (1990). "Momentos L: análisis y estimación de distribuciones mediante combinaciones lineales de estadísticas de orden". Revista de la Sociedad Real de Estadística, Serie B . 52 (1): 105-124. JSTOR  2345653 .
  2. ^ Hosking, JRM (1992). "¿Momentos o momentos L? Un ejemplo que compara dos medidas de forma distributiva". El estadístico estadounidense . 46 (3): 186–189. doi : 10.2307 / 2685210 . JSTOR 2685210 . 
  3. ^ Hosking, JRM (2006). "Sobre la caracterización de distribuciones por sus momentos L". Revista de Planificación e Inferencia Estadística . 136 : 193-198. doi : 10.1016 / j.jspi.2004.06.004 .
  4. ^ Asquith, WH (2011) Análisis de distribución con estadísticas de momento L utilizando el entorno R para cálculo estadístico , Create Space Independent Publishing Platform, [impresión bajo demanda], ISBN 1-463-50841-7 
  5. ↑ a b Jones, MC (2002). "Distribución más simple del estudiante". Revista de la Sociedad Real de Estadística, Serie D . 51 (1): 41–49. doi : 10.1111 / 1467-9884.00297 . JSTOR 3650389 . 
  6. ↑ a b Wang, QJ (1996). "Estimadores de muestra directa de momentos L ". Investigación de recursos hídricos . 32 (12): 3617–3619. doi : 10.1029 / 96WR02675 .
  7. ^ a b Greenwood, JA; Landwehr, JM; Matalas, Carolina del Norte; Wallis, JR (1979). "Momentos ponderados por probabilidad: Definición y relación con parámetros de varias distribuciones expresados ​​en forma inversa" (PDF) . Investigación de recursos hídricos . 15 (5): 1049–1054. doi : 10.1029 / WR015i005p01049 . Archivado desde el original (PDF) el 10 de febrero de 2020.
  8. ^ a b Landwehr, JM; Matalas, Carolina del Norte; Wallis, JR (1979). "Momentos ponderados por probabilidad comparados con algunas técnicas tradicionales en la estimación de parámetros y cuantiles de Gumbel". Investigación de recursos hídricos . 15 (5): 1055–1064. doi : 10.1029 / WR015i005p01055 .
  9. ^ L Moments , 6 de enero de 2006 , consultado el 19 de enero de 2013 Documentación de NIST Dataplot
  10. ↑ a b Valbuena, R .; Maltamo, M .; Mehtätalo, L .; Packalen, P. (2017). "Las características estructurales clave de los bosques boreales pueden detectarse directamente utilizando los momentos L de los datos LIDAR en el aire" . Teledetección del medio ambiente . 194 : 437–446. doi : 10.1016 / j.rse.2016.10.024 .
  11. ^ Hosking, JRM; Wallis, JR (2005). Análisis de frecuencia regional: un enfoque basado en L-momentos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 3. ISBN 978-0521019408. Consultado el 22 de enero de 2013 .
  12. ^ David, HA; Nagaraja, HN (2003). Estadísticas de pedidos (3ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-38926-2.
  13. ^ Serfling, R .; Xiao, P. (2007). "Una contribución a los momentos L multivariados: matrices de comomento L". Revista de análisis multivariante . 98 (9): 1765-1781. CiteSeerX 10.1.1.62.4288 . doi : 10.1016 / j.jmva.2007.01.008 . 
  14. ^ Delicado, P .; Goria, MN (2008). "Una pequeña muestra de comparación de los métodos de máxima verosimilitud, momentos y momentos L para la distribución de potencia exponencial asimétrica". Estadística computacional y análisis de datos . 52 (3): 1661–1673. doi : 10.1016 / j.csda.2007.05.021 .
  15. ^ Alkasasbeh, MR; Raqab, MZ (2009). "Estimación de los parámetros de distribución logística generalizada: estudio comparativo". Metodología estadística . 6 (3): 262-279. doi : 10.1016 / j.stamet.2008.10.001 .
  16. ^ Jones, MC (2004). "En algunas expresiones de varianza, covarianza, asimetría y momentos L". Revista de Planificación e Inferencia Estadística . 126 (1): 97–106. doi : 10.1016 / j.jspi.2003.09.001 .
  17. ^ Jones, MC (2009). "Distribución de Kumaraswamy: una distribución de tipo beta con algunas ventajas de manejabilidad". Metodología estadística . 6 (1): 70–81. doi : 10.1016 / j.stamet.2008.04.001 .
  18. ^ Royston, P. (1992). "¿Qué medidas de asimetría y curtosis son las mejores?". Estadística en Medicina . 11 (3): 333–343. doi : 10.1002 / sim.4780110306 .
  19. ^ Ulrych, TJ; Velis, DR; Woodbury, AD; Sacchi, MD (2000). "Momentos L y Momentos C". Investigación ambiental estocástica y evaluación de riesgos . 14 (1): 50–68. doi : 10.1007 / s004770050004 .
  20. ^ Elamir, Elsayed AH; Seheult, Allan H. (2003). "Momentos L recortados". Estadística computacional y análisis de datos . 43 (3): 299–314. doi : 10.1016 / S0167-9473 (02) 00250-5 .

enlaces externos

  • La página de los L-momentos Jonathan RM Hosking, IBM Research
  • Momentos L. Manual de referencia de Dataplot , vol. 1, capítulo auxiliar. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología , 2006. Consultado el 25 de mayo de 2010.
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