Momento estandarizado

momentos centrales normalizados

En teoría y estadística de probabilidad , un momento estandarizado de una distribución de probabilidad es un momento (normalmente un momento central de mayor grado ) que está normalizado. La normalización es típicamente una división por una expresión de la desviación estándar que hace invariante la escala de momentos. Esto tiene la ventaja de que tales momentos normalizados difieren solo en otras propiedades además de la variabilidad, lo que facilita, por ejemplo, la comparación de la forma de diferentes distribuciones de probabilidad. ^[1]

Normalización estándar

Deje que X sea una variable aleatoria con una distribución de probabilidad P y valor medio (es decir, el primero momento en bruto o momento alrededor de cero ), el operador E denota el valor esperado de X . Entonces el momento estándar de grado k es ^[2] , es decir, la relación de la k ésimo momento alrededor de la media${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$${\displaystyle {\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}},}$

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{k}P(x)\,dx,}$

a la k- ésima potencia de la desviación estándar ,

${\displaystyle \sigma ^{k}=\left({\sqrt {\mathrm {E} [(X-\mu )^{2}]}}\right)^{k}.}$

La potencia de k se debe a que los momentos escalan en el sentido de que son funciones homogéneas de grado k , por lo que el momento estandarizado es invariante de escala . Esto también puede entenderse como que los momentos tienen dimensión; en la relación anterior que define momentos estandarizados, las dimensiones se cancelan, por lo que son números adimensionales .${\displaystyle x^{k},}$${\displaystyle \mu _{k}(\lambda X)=\lambda ^{k}\mu _{k}(X):}$

Los primeros cuatro momentos estandarizados se pueden escribir como:

Grado k		Comentario
1	${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{1}={\frac {\mu _{1}}{\sigma ^{1}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{1}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{1/2}}}={\frac {\mu -\mu }{\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}}=0}$	El primer momento estandarizado es cero, porque el primer momento alrededor de la media es siempre cero.
2	${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{2}={\frac {\mu _{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{2/2}}}=1}$	El segundo momento estandarizado es uno, porque el segundo momento sobre la media es igual a la varianza σ 2 .
3	${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{3}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{3/2}}}}$	El tercer momento estandarizado es una medida de sesgo .
4	${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{4}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{4/2}}}}$	El cuarto momento estandarizado se refiere a la curtosis .

Para la asimetría y la curtosis, existen definiciones alternativas, que se basan en el tercer y cuarto acumulador respectivamente.

Otras normalizaciones

Más información: Normalización (estadísticas)

Otro invariante escala, medida adimensional para características de una distribución es el coeficiente de variación , . Sin embargo, este no es un momento estandarizado, en primer lugar porque es recíproco y, en segundo lugar, porque es el primer momento sobre cero (la media), no el primer momento sobre la media (que es cero).${\displaystyle {\frac {\sigma }{\mu }}}$${\displaystyle \mu }$

Consulte Normalización (estadísticas) para obtener más relaciones de normalización.

Ver también

• Coeficiente de variación
• Momento (matemáticas)
• Momento central
• Puntaje estándar § Otras normalizaciones

Referencias

1. Ramsey, James Bernard; Newton, H. Joseph; Harvill, Jane L. (1 de enero de 2002). "CAPÍTULO 4 MOMENTOS Y LA FORMA DE HISTOGRAMAS" . Los elementos de la estadística: con aplicaciones a la economía y las ciencias sociales . Duxbury / Thomson Learning. pag. 96. ISBN 9780534371111.
2. W., Weisstein, Eric. "Momento estandarizado" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de marzo de 2016 .