Sistema lineal invariante en el tiempo

modelo matemático

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En el análisis de sistemas , entre otros campos de estudio, un sistema lineal invariante en el tiempo (o "sistema LTI") es un sistema que produce una señal de salida a partir de cualquier señal de entrada sujeta a las limitaciones de linealidad e invariancia temporal ; estos términos se definen brevemente a continuación . Estas propiedades se aplican (exactamente o aproximadamente) a muchos sistemas físicos importantes, en cuyo caso la respuesta y (t) del sistema a una entrada arbitraria x (t) se puede encontrar directamente usando la convolución : y (t) = x (t) ∗ h (t) donde h (t) se denomina respuesta al impulso del sistemay ∗ representa la convolución (que no debe confundirse con la multiplicación, como se emplea con frecuencia con el símbolo en los lenguajes informáticos ). Además, existen métodos sistemáticos para resolver cualquier sistema de este tipo (determinando h (t) ), mientras que los sistemas que no cumplen con ambas propiedades son generalmente más difíciles (o imposibles) de resolver analíticamente. Un buen ejemplo de un sistema LTI es cualquier circuito eléctrico que consta de resistencias, condensadores, inductores y amplificadores lineales. ^[1]

La teoría del sistema lineal invariante en el tiempo también se utiliza en el procesamiento de imágenes , donde los sistemas tienen dimensiones espaciales en lugar de, o además de, una dimensión temporal. Estos sistemas pueden denominarse invariantes de traducción lineal para dar a la terminología el alcance más general. En el caso de sistemas genéricos de tiempo discreto (es decir, muestreados ), el término correspondiente es invariante de desplazamiento lineal . La teoría de sistemas LTI es un área de matemáticas aplicadas que tiene aplicaciones directas en el análisis y diseño de circuitos eléctricos , procesamiento de señales y diseño de filtros , teoría de control ,ingeniería mecánica , procesamiento de imágenes , diseño de instrumentos de medición de muchos tipos, espectroscopía de RMN ^{[ cita requerida ]} y muchas otras áreas técnicas donde se presentan sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias .

Resumen

Las propiedades definitorias de cualquier sistema LTI son la linealidad y la invariancia en el tiempo .

• Linealidad significa que la relación entre la entrada y la salida es el resultado de ecuaciones diferenciales lineales , es decir, ecuaciones diferenciales que emplean solo operadores lineales . Un sistema lineal que mapea una entrada x (t) a una salida y (t) mapeará una entrada escalada ax (t) a una salida ay (t) igualmente escalada por el mismo factor a . Y el principio de superposición se aplica a un sistema lineal: si el sistema mapea las entradas x ₁ (t) y x ₂ (t) a las salidas y ₁ (t)e y ₂ (t) respectivamente, entonces mapeará x ₃ (t) = x ₁ (t) + x ₂ (t) a la salida y ₃ (t) donde y ₃ (t) = y ₁ (t) + y ₂ (t) .

• La invariancia de tiempo significa que si aplicamos una entrada al sistema ahora o T segundos a partir de ahora, la salida será idéntica excepto por un retraso de tiempo de T segundos. Es decir, si la salida debida a la entrada es , entonces la salida debida a la entrada es . Por lo tanto, el sistema es invariante en el tiempo porque la salida no depende del momento particular en que se aplica la entrada.${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t-T)}$${\displaystyle y(t-T)}$

El resultado fundamental de la teoría del sistema LTI es que cualquier sistema LTI puede caracterizarse por completo por una única función llamada respuesta al impulso del sistema . La salida del sistema y (t) es simplemente la convolución de la entrada al sistema x (t) con la respuesta al impulso del sistema h (t) . A esto se le llama sistema de tiempo continuo . De manera similar, un sistema invariante en el tiempo lineal en tiempo discreto (o, más generalmente, "invariante en el desplazamiento") se define como uno que opera en tiempo discreto : y _i = x _i ∗ h _i donde y, x y h son secuencias y la convolución, en tiempo discreto, usa una suma discreta en lugar de una integral.

Relación entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia

Los sistemas LTI también se pueden caracterizar en el dominio de la frecuencia por la función de transferencia del sistema , que es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso del sistema (o transformada Z en el caso de sistemas de tiempo discreto). Como resultado de las propiedades de estas transformadas, la salida del sistema en el dominio de la frecuencia es el producto de la función de transferencia y la transformada de la entrada. En otras palabras, la convolución en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación en el dominio de la frecuencia.

Para todos los sistemas LTI, las funciones propias y las funciones básicas de las transformadas son exponenciales complejas . Esto es, si la entrada a un sistema es la forma de onda compleja para alguna amplitud compleja y frecuencia compleja , la salida será una constante compleja multiplicada por la entrada, digamos para alguna nueva amplitud compleja . La relación es la función de transferencia en frecuencia .${\displaystyle A_{s}e^{st}}$${\displaystyle A_{s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B_{s}e^{st}}$${\displaystyle B_{s}}$${\displaystyle B_{s}/A_{s}}$${\displaystyle s}$

Dado que las sinusoides son una suma de exponenciales complejas con frecuencias conjugadas complejas, si la entrada al sistema es una sinusoide, entonces la salida del sistema también será una sinusoide, quizás con una amplitud diferente y una fase diferente , pero siempre con el misma frecuencia al alcanzar el estado estable. Los sistemas LTI no pueden producir componentes de frecuencia que no estén en la entrada.

La teoría del sistema LTI es buena para describir muchos sistemas importantes. La mayoría de los sistemas LTI se consideran "fáciles" de analizar, al menos en comparación con el caso no lineal o variable en el tiempo . Cualquier sistema que pueda modelarse como una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es un sistema LTI. Ejemplos de tales sistemas son los circuitos eléctricos compuestos por resistencias , inductores y condensadores (circuitos RLC). Los sistemas ideales de resorte-masa-amortiguador también son sistemas LTI y son matemáticamente equivalentes a los circuitos RLC.

La mayoría de los conceptos del sistema LTI son similares entre los casos de tiempo continuo y tiempo discreto (invariante de desplazamiento lineal). En el procesamiento de imágenes, la variable de tiempo se reemplaza con dos variables de espacio, y la noción de invariancia de tiempo se reemplaza por invariancia de cambio bidimensional. Al analizar bancos de filtros y sistemas MIMO , a menudo es útil considerar vectores de señales.

Un sistema lineal que no es invariante en el tiempo se puede resolver utilizando otros enfoques, como el método de la función de Green . Se debe utilizar el mismo método cuando las condiciones iniciales del problema no son nulas. ^{[ cita requerida ]}

Sistemas de tiempo continuo

Impulso, respuesta y convolución

El comportamiento de un sistema lineal, en tiempo continuo e invariante en el tiempo con la señal de entrada x ( t ) y la señal de salida y ( t ) se describe mediante la integral de convolución : ^[2]

${\displaystyle y(t)=(x*h)(t)\,}$	${\displaystyle {}\quad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau }$
	${\displaystyle {}\quad =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,}$       (usando conmutatividad )

donde es la respuesta del sistema a un impulso : es por lo tanto proporcional a un promedio ponderado de la función de entrada   La función de ponderación simplemente se desplaza por la cantidad   A medida que cambia, la función de ponderación enfatiza diferentes partes de la función de entrada. Cuando es cero para todo negativo depende solo de los valores anteriores al tiempo   y se dice que el sistema es causal .${\displaystyle \textstyle h(t)}$  ${\displaystyle \textstyle x(\tau )=\delta (\tau ).}$   ${\displaystyle \textstyle y(t)}$${\displaystyle \textstyle x(\tau ).}$${\displaystyle \textstyle h(-\tau ),}$${\displaystyle \textstyle t.}$${\displaystyle \textstyle t}$${\displaystyle \textstyle h(\tau )}$${\displaystyle \textstyle \tau ,}$  ${\displaystyle \textstyle y(t)}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle t,}$

Para entender por qué la convolución produce la salida de un sistema LTI, dejar que la notación representa la función con la variable y constante   Y que la notación más corta representa a continuación, un tiempo continuo transformaciones del sistema una función de entrada, en una función de salida, . Y, en general, cada valor de la salida puede depender de cada valor de la entrada. Este concepto está representado por :${\displaystyle \textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$${\displaystyle \textstyle x(u-\tau )}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle \tau .}$${\displaystyle \textstyle \{x\}\,}$${\displaystyle \textstyle \{x(u);\ u\}.}$${\displaystyle \textstyle \{x\},}$${\displaystyle \textstyle \{y\}}$

${\displaystyle y(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{x\},}$

donde es el operador de transformación para el tiempo . En un sistema típico, depende en gran medida de los valores de lo que ocurrió cerca del tiempo, a   menos que la transformación en sí cambie con la función de salida sea constante y el sistema no sea interesante.${\displaystyle \textstyle O_{t}}$${\displaystyle \textstyle t}$${\displaystyle \textstyle y(t)}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle t.}$${\displaystyle \textstyle t,}$

Para un sistema lineal, debe satisfacer la ecuación 1 :${\displaystyle \textstyle O}$

${\displaystyle O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .\,}$

( Ecuación 2 )

Y el requisito de invariancia en el tiempo es :

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ y(t-\tau )\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}}$

( Ecuación 3 )

En esta notación, podemos escribir la respuesta al impulso como  ${\displaystyle \textstyle h(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Similarmente :

${\displaystyle h(t-\tau )\,}$	${\displaystyle {}{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}}$
	${\displaystyle {}=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.\,}$       (usando la ecuación 3 )

Sustituyendo este resultado en la integral de convolución :

${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$

que tiene la forma del lado derecho de la Ec. 2 para el caso y la Ec. 2 permite esta continuación :${\displaystyle \textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$${\displaystyle \textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ y(t).\,\end{aligned}}}$

En resumen, la función de entrada   se puede representar mediante un continuo de funciones de impulso desplazadas en el tiempo, combinadas "linealmente", como se muestra en la Ec . 1 . La propiedad de linealidad del sistema permite que la respuesta del sistema sea representada por el continuo correspondiente de respuestas de impulso , combinadas de la misma manera. Y la propiedad de invariancia en el tiempo permite que esa combinación sea representada por la integral de convolución.${\displaystyle \textstyle \{x\},}$

Las operaciones matemáticas anteriores tienen una simulación gráfica simple. ^[3]

Exponenciales como funciones propias

Una función propia es una función para la cual la salida del operador es una versión escalada de la misma función. Es decir,

${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$

donde f es la función propia y es el valor propio , una constante.${\displaystyle \lambda }$

Las funciones exponenciales , donde , son funciones propias de un lineal , invariante en el tiempo del operador. Una simple prueba ilustra este concepto. Suponga que la entrada es . La salida del sistema con respuesta de impulso es entonces${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau }$

que, por la propiedad conmutativa de la convolución , es equivalente a

${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\operatorname {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\end{aligned}}}$

donde el escalar

${\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t}$

depende solo del parámetro s .

Entonces, la respuesta del sistema es una versión escalada de la entrada. En particular, para cualquiera , la salida del sistema es el producto de la entrada y la constante . Por tanto, es una función propia de un sistema LTI, y el valor propio correspondiente es .${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle H(s)}$

Prueba directa

También es posible derivar directamente exponenciales complejos como funciones propias de sistemas LTI.

Establezcamos una versión exponencial compleja y una versión diferida en el tiempo.${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$por linealidad con respecto a la constante .${\displaystyle e^{i\omega a}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$por invariancia temporal de .${\displaystyle H}$

Entonces . Configurando y cambiando el nombre obtenemos:${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$

es decir, que una exponencial compleja como entrada dará una exponencial compleja de la misma frecuencia que la salida.${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$

Transformadas de Fourier y Laplace

La propiedad de función propia de las exponenciales es muy útil tanto para el análisis como para la comprensión de los sistemas LTI. La transformada de Laplace unilateral

${\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t}$

es exactamente la forma de obtener los valores propios de la respuesta al impulso. De particular interés son las sinusoides puras (es decir, funciones exponenciales de la forma donde y ). La transformada de Fourier proporciona los valores propios de las sinusoides complejas puras. Ambos y se denominan función del sistema , respuesta del sistema o función de transferencia .${\displaystyle e^{j\omega t}}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$${\displaystyle j\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(j\omega )}$

La transformada de Laplace se usa generalmente en el contexto de señales unilaterales, es decir, señales que son cero para todos los valores de t menores que algún valor. Por lo general, este "tiempo de inicio" se establece en cero, por conveniencia y sin pérdida de generalidad, y la integral de transformada se toma de cero a infinito (la transformada que se muestra arriba con el límite inferior de integración de infinito negativo se conoce formalmente como el Laplace bilateral transformar ).

La transformada de Fourier se utiliza para analizar sistemas que procesan señales de extensión infinita, como las sinusoides moduladas, aunque no se puede aplicar directamente a señales de entrada y salida que no son integrables en escuadra . La transformada de Laplace realmente funciona directamente para estas señales si son cero antes de un tiempo de inicio, incluso si no son integrables al cuadrado, para sistemas estables. La transformada de Fourier se aplica a menudo a espectros de señales infinitas mediante el teorema de Wiener-Khinchin incluso cuando las transformadas de Fourier de las señales no existen.

Debido a la propiedad de convolución de ambas transformadas, la convolución que da la salida del sistema se puede transformar en una multiplicación en el dominio de la transformada, dadas las señales para las cuales existen las transformadas.

${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$

Se puede usar la respuesta del sistema directamente para determinar cómo un sistema con esa transformada de Laplace maneja cualquier componente de frecuencia en particular. Si evaluamos la respuesta del sistema (transformada de Laplace de la respuesta al impulso) a la frecuencia compleja s = jω , donde ω = 2πf , obtenemos | H ( s ) | que es la ganancia del sistema para la frecuencia f . El desplazamiento de fase relativo entre la salida y la entrada para ese componente de frecuencia también viene dado por arg (H (s)) .

Ejemplos

• Un ejemplo simple de un operador LTI es la derivada .
  • ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)}$   (es decir, es lineal)
  • ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}$   (es decir, es invariante en el tiempo)

Cuando se toma la transformada de Laplace de la derivada, se transforma en una simple multiplicación por la variable de Laplace s .

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)}$

Que la derivada tenga una transformada de Laplace tan simple explica en parte la utilidad de la transformada.

• Otro operador de LTI simple es un operador de promediado

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda .}$

Por la linealidad de la integración,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}}$

es lineal. Además, porque

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\operatorname {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\operatorname {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}}$

es invariante en el tiempo. De hecho, se puede escribir como una convolución con la función de vagón . Es decir,${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Pi (t)}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda ,}$

donde funciona el furgón

${\displaystyle \Pi (t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$

Propiedades importantes del sistema

Algunas de las propiedades más importantes de un sistema son la causalidad y la estabilidad. La causalidad es una necesidad para un sistema físico cuya variable independiente es el tiempo, sin embargo esta restricción no está presente en otros casos como el procesamiento de imágenes.

Causalidad

Artículo principal: sistema causal

Un sistema es causal si la salida depende solo de entradas presentes y pasadas, pero no de entradas futuras. Una condición necesaria y suficiente para la causalidad es

${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$

¿Dónde está la respuesta al impulso? En general, no es posible determinar la causalidad a partir de la transformada de Laplace bilateral . Sin embargo, cuando se trabaja en el dominio del tiempo, normalmente se usa la transformada de Laplace unilateral que requiere causalidad.${\displaystyle h(t)}$

Estabilidad

Artículo principal: estabilidad BIBO

Un sistema es estable de entrada acotada, salida acotada (BIBO estable) si, para cada entrada acotada, la salida es finita. Matemáticamente, si cada entrada satisface

${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$

conduce a una salida satisfactoria

${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$

(es decir, un valor absoluto máximo finito de implica un valor absoluto máximo finito de ), entonces el sistema es estable. Una condición necesaria y suficiente es que , la respuesta al impulso, esté en L 1 (tiene una norma L ¹ finita ):${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \ \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\operatorname {d} t<\infty .}$

En el dominio de la frecuencia, la región de convergencia debe contener el eje imaginario .${\displaystyle s=j\omega }$

Como ejemplo, el filtro de paso bajo ideal con una respuesta de impulso igual a una función sinc no es BIBO estable, porque la función sinc no tiene una norma L ¹ finita . Por lo tanto, para alguna entrada acotada, la salida del filtro de paso bajo ideal es ilimitada. En particular, si la entrada es cero para e igual a una sinusoide en la frecuencia de corte para , entonces la salida será ilimitada para todos los tiempos que no sean los cruces por cero. ^{[ dudoso - discutir ]}${\displaystyle t<0\,}$${\displaystyle t>0\,}$

Sistemas de tiempo discreto

Casi todo en los sistemas de tiempo continuo tiene una contraparte en los sistemas de tiempo discreto.

Sistemas de tiempo discreto de sistemas de tiempo continuo

En muchos contextos, un sistema de tiempo discreto (DT) es realmente parte de un sistema de tiempo continuo (CT) más grande. Por ejemplo, un sistema de grabación digital toma un sonido analógico, lo digitaliza, posiblemente procesa las señales digitales y reproduce un sonido analógico para que la gente lo escuche.

En los sistemas prácticos, las señales DT obtenidas suelen ser versiones muestreadas uniformemente de las señales CT. Si es una señal CT, entonces el circuito de muestreo utilizado antes de un convertidor de analógico a digital lo transformará en una señal DT:${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x_{n}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$

donde T es el período de muestreo . Antes del muestreo, la señal de entrada se pasa normalmente a través de un filtro llamado Nyquist que elimina las frecuencias por encima de la "frecuencia de plegado" 1 / (2T); esto garantiza que no se perderá ninguna información en la señal filtrada. Sin filtrado, cualquier componente de frecuencia por encima de la frecuencia de plegado (o frecuencia de Nyquist ) se alias a una frecuencia diferente (distorsionando así la señal original), ya que una señal DT solo puede admitir componentes de frecuencia inferiores a la frecuencia de plegado.

Impulso, respuesta y convolución

Dejemos representar la secuencia${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

Y deja que la notación más corta represente${\displaystyle \{x\}\,}$${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

Un sistema discreto transforma una secuencia de entrada en una secuencia de salida. En general, cada elemento de la salida puede depender de cada elemento de la entrada. Representando el operador de transformación por , podemos escribir:${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{y\}.}$${\displaystyle O}$

${\displaystyle y[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{x\}.}$

Tenga en cuenta que a menos que la transformación en sí cambie con n , la secuencia de salida es simplemente constante y el sistema no es interesante. (Por lo tanto, el subíndice, n .) En un sistema típico, y [n] depende en gran medida de los elementos de x cuyos índices están cerca de n .

Para el caso especial de la función delta de Kronecker , la secuencia de salida es la respuesta al impulso:${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$

${\displaystyle h[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{\delta [m];\ m\}.\,}$

Para un sistema lineal, debe satisfacer:${\displaystyle O}$

${\displaystyle O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.\,}$

( Ecuación 4 )

Y el requisito de invariancia en el tiempo es:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ y[n-k]\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}}$

( Ecuación 5 )

En tal sistema, la respuesta al impulso caracteriza al sistema por completo. Es decir, para cualquier secuencia de entrada, la secuencia de salida se puede calcular en términos de la entrada y la respuesta al impulso. Para ver cómo se hace eso, considere la identidad:${\displaystyle \{h\},\,}$

${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],\,}$

que se expresa en términos de una suma de funciones delta ponderadas.${\displaystyle \{x\}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$

donde hemos invocado la Ec. 4 para el caso y${\displaystyle c_{k}=x[k]\,}$${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k].\,}$

Y debido a la ecuación 5 , podemos escribir:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ h[n-k].\,\end{aligned}}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle y[n]\,}$	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]\,}$
	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],}$       ( conmutatividad )

que es la conocida fórmula de convolución discreta. Por tanto, el operador puede interpretarse como proporcional a un promedio ponderado de la función x [k] . La función de ponderación es h [-k] , simplemente desplazada por la cantidad n . A medida que n cambia, la función de ponderación enfatiza diferentes partes de la función de entrada. De manera equivalente, la respuesta del sistema a un impulso en n = 0 es una copia invertida "en el tiempo" de la función de ponderación no desplazada. Cuando h [k] es cero para todo k negativo , se dice que el sistema es causal .${\displaystyle O_{n}}$

Exponenciales como funciones propias

Una función propia es una función para la cual la salida del operador es la misma función, escalada por alguna constante. En símbolos,

${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f}$,

donde f es la función propia y es el valor propio , una constante.${\displaystyle \lambda }$

Las funciones exponenciales , donde , son funciones propias de un lineal , invariante en el tiempo del operador. es el intervalo de muestreo, y . Una simple prueba ilustra este concepto.${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$

Suponga que la entrada es . La salida del sistema con respuesta de impulso es entonces${\displaystyle x[n]=\,\!z^{n}}$${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$

que es equivalente a lo siguiente por la propiedad conmutativa de convolución

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$

dónde

${\displaystyle H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$

depende solo del parámetro z .

También lo es una función propia de un sistema LTI porque la respuesta del sistema es la misma que la entrada multiplicada por la constante .${\displaystyle z^{n}}$${\displaystyle H(z)}$

Z y transformadas de Fourier de tiempo discreto

La propiedad de función propia de las exponenciales es muy útil tanto para el análisis como para la comprensión de los sistemas LTI. La transformación Z

${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$

es exactamente la forma de obtener los valores propios de la respuesta al impulso ^{[ aclaración necesaria ]} . De particular interés son las sinusoides puras, es decir, exponenciales de la forma , donde . Estos también se pueden escribir como con ^{[ aclaración necesaria ]} . La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) da los valores propios de las sinusoides puras ^{[ aclaración necesaria ]} . Ambos de y se denominan función del sistema , respuesta del sistema o función de transferencia ' .${\displaystyle e^{j\omega n}}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$${\displaystyle z^{n}}$${\displaystyle z=e^{j\omega }}$${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$${\displaystyle H(z)}$${\displaystyle H(e^{j\omega })}$

Como la transformada de Laplace unilateral, la transformada Z se usa generalmente en el contexto de señales unilaterales, es decir, señales que son cero para t <0. La serie de Fourier de la transformada de Fourier de tiempo discreto se puede utilizar para analizar señales periódicas.

Debido a la propiedad de convolución de ambas transformadas, la convolución que da la salida del sistema se puede transformar en una multiplicación en el dominio de la transformada. Es decir,

${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$

Al igual que con la función de transferencia de la transformada de Laplace en el análisis de sistemas en tiempo continuo, la transformada Z facilita el análisis de los sistemas y la comprensión de su comportamiento.

Ejemplos

• Un ejemplo simple de un operador LTI es el operador de retraso .${\displaystyle D\{x[n]\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x[n-1]}$
  • ${\displaystyle D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]}$   (es decir, es lineal)
  • ${\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]\,}$   (es decir, es invariante en el tiempo)

La transformada Z del operador de retardo es una simple multiplicación por z ⁻¹ . Es decir,

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).}$

• Otro operador de LTI simple es el operador de promediado

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].}$

Debido a la linealidad de las sumas,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}}$

y por eso es lineal. Porque,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}}$

también es invariante en el tiempo.

Propiedades importantes del sistema

Las características de entrada-salida del sistema LTI de tiempo discreto están completamente descritas por su respuesta al impulso . Dos de las propiedades más importantes de un sistema son la causalidad y la estabilidad. Los sistemas no causales (en el tiempo) se pueden definir y analizar como se indicó anteriormente, pero no se pueden realizar en tiempo real. Los sistemas inestables también se pueden analizar y construir, pero solo son útiles como parte de un sistema más grande cuya función de transferencia general es estable.${\displaystyle h[n]}$

Causalidad

Artículo principal: sistema causal

Un sistema LTI de tiempo discreto es causal si el valor actual de la salida depende solo del valor actual y de los valores pasados ​​de la entrada. ^[4] Una condición necesaria y suficiente para la causalidad es

${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$

¿Dónde está la respuesta al impulso? En general, no es posible determinar la causalidad a partir de la transformada Z, porque la transformada inversa no es única ^{[ dudoso - discutir ]} . Cuando se especifica una región de convergencia , se puede determinar la causalidad.${\displaystyle h[n]}$

Estabilidad

Artículo principal: estabilidad BIBO

Un sistema es entrada acotada, salida acotada estable (BIBO estable) si, para cada entrada acotada, la salida es finita. Matemáticamente, si

${\displaystyle \ \|x[n]\|_{\infty }<\infty }$

implica que

${\displaystyle \ \|y[n]\|_{\infty }<\infty }$

(es decir, si la entrada acotada implica una salida acotada, en el sentido de que los valores absolutos máximos de y son finitos), entonces el sistema es estable. Una condición necesaria y suficiente es que , la respuesta al impulso, satisfaga${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle \|h[n]\|_{1}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .}$

En el dominio de la frecuencia, la región de convergencia debe contener el círculo unitario (es decir, el lugar que satisface para el complejo z ).${\displaystyle |z|=1}$

Notas

1. Hespanha 2009, p. 78.
2. Crutchfield, pág. 1. ¡Bienvenidos!
3. Crutchfield, pág. 1. Ejercicios
4. Phillips 2007, p. 508.

Ver también

• Matriz circulante
• Respuesta frecuente
• Respuesta impulsiva
• Análisis del sistema
• Función verde
• Gráfico de flujo de señal

Referencias

• Phillips, Cl, Parr, JM y Riskin, EA (2007). Señales, sistemas y transformaciones . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2.
• Hespanha, JP (2009). Teoría de sistemas lineales . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-14021-6.
• Crutchfield, Steve (12 de octubre de 2010), "The Joy of Convolution" , Johns Hopkins University , consultado el 21 de noviembre de 2010
• Vaidyanathan, PP; Chen, T. (mayo de 1995). "Papel de las inversas anticausal en los bancos de filtros de múltiples velocidades - Parte I: fundamentos de la teoría del sistema" (PDF) . IEEE Trans. Proceso de señal . 43 (6): 1090. Código Bibliográfico : 1995ITSP ... 43.1090V . doi : 10.1109 / 78.382395 .

Lectura adicional

• Porat, Boaz (1997). Curso de Procesamiento de Señales Digitales . Nueva York: John Wiley. ISBN 978-0-471-14961-3.

• Vaidyanathan, PP; Chen, T. (mayo de 1995). "Papel de las inversas anticausal en los bancos de filtros de múltiples velocidades - Parte I: fundamentos de la teoría del sistema" (PDF) . IEEE Trans. Proceso de señal . 43 (5): 1090. Código bibliográfico : 1995ITSP ... 43.1090V . doi : 10.1109 / 78.382395 .

Enlaces externos

• ECE 209: Revisión de circuitos como sistemas LTI  - Breve introducción al análisis matemático de sistemas LTI (eléctricos).
• ECE 209: Fuentes de cambio de fase  : ofrece una explicación intuitiva de la fuente de cambio de fase en dos sistemas eléctricos LTI comunes.
• JHU 520.214 Apuntes del curso sobre señales y sistemas . Un curso encapsulado sobre teoría de sistemas LTI. Adecuado para autoaprendizaje.
• Ejemplo de sistema LTI: filtro de paso bajo RC . Respuesta de amplitud y fase.