mecánica lagrangiana

Introducida por el matemático y astrónomo italo-francés Joseph-Louis Lagrange en 1788 a partir de su obra Mécanique analytique , la mecánica lagrangiana es una formulación de la mecánica clásica y se basa en el principio de acción estacionaria .

La mecánica lagrangiana define un sistema mecánico como un par de un espacio de configuración y una función suave llamada lagrangiana . Por convención, donde y son las energías cinética y potencial del sistema, respectivamente. Aquí y es el vector de velocidad en es tangencial a (Para aquellos familiarizados con fibrados tangentes , y .)${\ estilo de visualización (M, L)}$ ${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización L = L (q, v, t)}$${\displaystyle L=TV,}$${\ estilo de visualización T}$${\ estilo de visualización V}$${\ estilo de visualización q \ en M,}$${\ estilo de visualización v}$${\ estilo de visualización q}$ ${\ estilo de visualización (v}$${\ estilo de visualización M).}$${\displaystyle L:TM\times \mathbb {R} _{t}\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle v\en T_{q}M}$

Dados los instantes de tiempo y la mecánica lagrangiana postula que un camino suave describe la evolución en el tiempo del sistema dado si y solo si es un punto estacionario de la acción funcional${\ estilo de visualización t_ {1}}$${\ estilo de visualización t_ {2},}$${\ estilo de visualización x_ {0}: [t_ {1}, t_ {2}] \ a M}$${\ estilo de visualización x_ {0}}$

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

Cordón obligado a moverse sobre un alambre sin fricción. El alambre ejerce una fuerza de reacción C sobre la cuenta para mantenerla en el alambre. La fuerza sin restricción N en este caso es la gravedad. Observe que la posición inicial del cable puede dar lugar a diferentes movimientos.

péndulo sencillo. Dado que la barra es rígida, la posición de la lenteja está restringida según la ecuación f ( x , y ) = 0, la fuerza de restricción C es la tensión en la barra. Nuevamente, la fuerza N sin restricción en este caso es la gravedad.

Isaac Newton (1642-1727)

Jean d'Alembert (1717-1783)

Dos grados de libertad.

Fuerza de restricción C y desplazamiento virtual δ r para una partícula de masa m confinada a una curva. La fuerza resultante sin restricción es N .

A medida que el sistema evoluciona, q traza un camino a través del espacio de configuración (solo se muestran algunos). El camino tomado por el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria (δ S = 0) bajo pequeños cambios en la configuración del sistema (δ q ). ^[19]

Croquis de la situación con definición de las coordenadas (click para ampliar)