En geometría diferencial , el haz tangente de una variedad diferenciable es un colector que ensambla todos los vectores tangentes en . Como conjunto, está dado por la unión disjunta [nota 1] de los espacios tangentes de. Es decir,
dónde denota el espacio tangente a en el punto . Entonces, un elemento dese puede pensar en un par , dónde es un punto en y es un vector tangente a a .
Hay una proyección natural
definido por . Esta proyección mapea cada elemento del espacio tangente al único punto .
El paquete tangente viene equipado con una topología natural (descrita en una sección a continuación ). Con esta topología, el paquete tangente a una variedad es el ejemplo prototípico de un paquete vectorial (que es un paquete de fibras cuyas fibras son espacios vectoriales ). Una sección dees un campo vectorial eny el paquete dual paraes el paquete cotangente , que es la unión disjunta de los espacios cotangentes de. Por definición, una variedades paralelizable si y solo si el paquete tangente es trivial . Por definición, una variedadestá enmarcado si y solo si el paquete tangente es establemente trivial, lo que significa que para algún paquete trivial la suma de Whitney es trivial. Por ejemplo, la esfera n- dimensional S n está enmarcada para todo n , pero paralelizable solo para n = 1, 3, 7 (según los resultados de Bott-Milnor y Kervaire).
Papel
Uno de los roles principales del paquete tangente es proporcionar un dominio y rango para la derivada de una función suave. Es decir, si es una función suave, con y colectores suaves, su derivada es una función suave.
Topología y estructura suave
El paquete tangente viene equipado con una topología natural ( no la topología de unión disjunta ) y una estructura suave para convertirlo en un colector por derecho propio. La dimensión de es el doble de la dimensión de .
Cada espacio tangente de una variedad n- dimensional es un espacio vectorial n- dimensional. Sies un subconjunto contráctil abierto de, entonces hay un difeomorfismo que se restringe a un isomorfismo lineal de cada espacio tangente a . Como variedad, sin embargo, no siempre es difeomórfico a la variedad de productos . Cuando es de la forma, entonces se dice que el paquete tangente es trivial . Los haces tangentes triviales suelen ocurrir en variedades equipadas con una "estructura de grupo compatible"; por ejemplo, en el caso de que la variedad sea un grupo de Lie . El haz tangente del círculo unitario es trivial porque es un grupo de Lie (bajo la multiplicación y su estructura diferencial natural). Sin embargo, no es cierto que todos los espacios con haces tangentes triviales sean grupos de Lie; las variedades que tienen un haz tangente trivial se denominan paralelizables . Así como las variedades se modelan localmente en el espacio euclidiano , los haces tangentes se modelan localmente en, dónde es un subconjunto abierto del espacio euclidiano.
Si M es una variedad n- dimensional suave , entonces viene equipada con un atlas de gráficos., dónde es un set abierto en y
es un difeomorfismo . Estas coordenadas locales en dar lugar a un isomorfismo para todos . Entonces podemos definir un mapa
por
Usamos estos mapas para definir la topología y la estructura suave en . Un subconjunto de está abierto si y solo si
está abierto en para cada Estos mapas son homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de y y, por lo tanto, sirven como gráficos para la estructura suave en . Las funciones de transición en el gráfico se superponenson inducidas por las matrices jacobianas de la transformación de coordenadas asociada y, por lo tanto, son mapas suaves entre subconjuntos abiertos de.
El haz tangente es un ejemplo de una construcción más general llamada haz vectorial (que es en sí mismo un tipo específico de haz de fibras ). Explícitamente, el paquete tangente a un-múltiple dimensional puede definirse como un rango paquete de vectores sobre cuyas funciones de transición están dadas por el jacobiano de las transformaciones de coordenadas asociadas.
Ejemplos de
El ejemplo más simple es el de . En este caso, el paquete tangente es trivial: cada es canónicamente isomorfo a a través del mapa que resta , dando un difeomorfismo .
Otro ejemplo simple es el círculo unitario ,(vea la imagen de arriba). El haz tangente del círculo también es trivial e isomorfo para. Geométricamente, este es un cilindro de altura infinita.
Los únicos haces tangentes que se pueden visualizar fácilmente son los de la línea real y el círculo unitario , los cuales son triviales. Para variedades bidimensionales, el haz tangente es tetradimensional y, por tanto, difícil de visualizar.
Un ejemplo simple de un paquete tangente no trivial es el de la esfera unitaria : este haz tangente no es trivial como consecuencia del teorema de la bola peluda . Por tanto, la esfera no es paralelizable.
Campos vectoriales
Una asignación suave de un vector tangente a cada punto de una variedad se llama campo vectorial . Específicamente, un campo vectorial en una variedades un mapa suave
tal que la imagen de , denotado , se encuentra en , el espacio tangente en . En el lenguaje de los haces de fibras, este mapa se denomina sección . Un campo vectorial en es, por tanto, una sección del haz tangente de .
El conjunto de todos los campos vectoriales en se denota por . Los campos vectoriales se pueden sumar puntualmente
y multiplicado por funciones suaves en M
para obtener otros campos vectoriales. El conjunto de todos los campos vectoriales.luego toma la estructura de un módulo sobre el álgebra conmutativa de funciones suaves en M , denotado.
Un campo de vector local en es una sección local del paquete tangente. Es decir, un campo de vector local se define solo en algún conjunto abierto y asigna a cada punto de un vector en el espacio tangente asociado. El conjunto de campos vectoriales locales enforma una estructura conocida como un haz de espacios vectoriales reales en.
La construcción anterior se aplica igualmente bien al paquete cotangente: el diferencial 1 se forma en son precisamente las secciones del paquete cotangente , que se asocian a cada punto un 1-covector , que mapean vectores tangentes a números reales: . De manera equivalente, una forma diferencial 1mapea un campo vectorial suave a una función suave .
Paquetes tangentes de orden superior
Dado que el paquete tangente es en sí mismo una variedad suave, el paquete tangente de segundo orden se puede definir mediante la aplicación repetida de la construcción del paquete tangente:
En general, el paquete tangente de orden se puede definir de forma recursiva como .
Un mapa fluido tiene una derivada inducida, para la cual el paquete tangente es el dominio y rango apropiados . De manera similar, los paquetes tangentes de orden superior proporcionan el dominio y el rango para las derivadas de orden superior..
Una construcción distinta pero relacionada son los haces de chorros en un colector, que son haces que consisten en chorros .
Campo vectorial canónico en paquete tangente
En cada paquete tangente , considerado como una variedad en sí mismo, se puede definir un campo vectorial canónico como el mapa diagonal en el espacio tangente en cada punto. Esto es posible porque el espacio tangente de un espacio vectorial W es naturalmente un producto, dado que el espacio vectorial en sí es plano y, por lo tanto, tiene un mapa diagonal natural dada por bajo esta estructura de producto. La aplicación de esta estructura de producto al espacio tangente en cada punto y la globalización produce el campo vectorial canónico. Informalmente, aunque la variedad es curvo, cada espacio tangente en un punto , , es plano, por lo que la variedad de haz tangente es localmente un producto de una curva y un piso Por lo tanto, el paquete tangente del paquete tangente es localmente (usando para "elección de coordenadas" y para "identificación natural"):
y el mapa es la proyección sobre las primeras coordenadas:
Dividir el primer mapa a través de la sección cero y el segundo mapa por la diagonal produce el campo vectorial canónico.
Si son coordenadas locales para , el campo vectorial tiene la expresión
De manera más concisa, - el primer par de coordenadas no cambia porque es la sección de un paquete y estos son solo el punto en el espacio base: el último par de coordenadas es la sección en sí. Esta expresión para el campo vectorial depende solo de, no en , ya que solo las direcciones de la tangente pueden identificarse naturalmente.
Alternativamente, considere la función de multiplicación escalar:
La derivada de esta función con respecto a la variable en el momento es una función , que es una descripción alternativa del campo vectorial canónico.
La existencia de tal campo vectorial en es análogo al canónico de una forma en el paquete cotangente . Algunas vecestambién se denomina campo vectorial de Liouville o campo vectorial radial . Utilizandose puede caracterizar el haz tangente. Esencialmente,se puede caracterizar usando 4 axiomas, y si una variedad tiene un campo vectorial que satisface estos axiomas, entonces la variedad es un paquete tangente y el campo vectorial es el campo vectorial canónico en él. Véase, por ejemplo, De León et al.
Ascensores
Hay varias formas de levantar objetos en objetos en . Por ejemplo, si es una curva en , luego (la tangente de) es una curva en . Por el contrario, sin más supuestos sobre(digamos, una métrica de Riemann ), no hay elevación similar en el paquete cotangente .
La elevación vertical de una función es la funcion definido por , dónde es la proyección canónica.
Ver también
- Empujar hacia adelante (diferencial)
- Paquete unitario tangente
- Paquete cotangente
- Paquete de marcos
- Isomorfismo musical
Notas
- ^ a b La unión disjunta asegura que para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de la variedad M, los espacios tangentes T 1 y T 2 no tienen un vector común. Esto se ilustra gráficamente en la imagen adjunta para el haz tangente del círculo S 1 , consulte la sección de Ejemplos : todas las tangentes a un círculo se encuentran en el plano del círculo. Para hacerlos disjuntos es necesario alinearlos en un plano perpendicular al plano del círculo.
Referencias
- Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 107, Providence: Sociedad Matemática Estadounidense
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ). ISBN 978-0-8218-4815-9 - John M. Lee, Introducción a los colectores lisos , (2003) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-95495-3 .
- Jürgen Jost , Geometría y análisis geométrico de Riemann , (2002) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-42627-2
- Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres. ISBN 0-8053-0102-X
- M. De León, E. Merino, JA Oubiña, M. Salgado, Una caracterización de haces tangentes y tangentes estables , Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, vol. 61, no. 1, 1994, 1-15 [1]
enlaces externos
- "Paquete tangente" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Wolfram MathWorld: Paquete Tangente
- PlanetMath: Paquete Tangente