El elipsoide de tensión de Lamé es una alternativa al círculo de Mohr para la representación gráfica del estado de tensión en un punto . La superficie del elipsoide representa el lugar de los puntos finales de todos los vectores de tensión que actúan en todos los planos que pasan por un punto dado en el cuerpo continuo. En otras palabras, los puntos finales de todos los vectores de tensión en un punto dado del cuerpo continuo se encuentran en la superficie del elipsoide de tensión, es decir, el radio-vector desde el centro del elipsoide, ubicado en el punto material en consideración, hasta un punto en la superficie del elipsoide es igual al vector de tensión en algún plano que pasa por el punto. En dos dimensiones, la superficie está representada por una elipse .
Una vez que se conocen las ecuaciones del elipsoide, se puede obtener la magnitud del vector de tensión para cualquier plano que pase por ese punto.
Para determinar la ecuación del elipsoide de esfuerzos consideramos los ejes coordenados tomado en las direcciones de los ejes principales, es decir, en un espacio de tensión principal. Por tanto, las coordenadas del vector de tensión en un avión con vector unitario normal pasando por un punto dado está representado por
Y sabiendo eso es un vector unitario que tenemos
que es la ecuación de un elipsoide centrado en el origen del sistema de coordenadas, con las longitudes de los semiejes del elipsoide iguales a las magnitudes de las tensiones principales, es decir, las intersecciones del elipsoide con los ejes principales son .
- El primer invariante de estrés es directamente proporcional a la suma de los radios principales del elipsoide.
- El segundo invariante de estrés es directamente proporcional a la suma de las tres áreas principales del elipsoide. Las tres áreas principales son las elipses en cada plano principal.
- El tercer invariante de estrés es directamente proporcional al volumen del elipsoide.
- Si dos de las tres tensiones principales son numéricamente iguales, el elipsoide de tensiones se convierte en un elipsoide de revolución . [1] Por lo tanto, dos áreas principales son elipses y la tercera es un círculo .
- Si todas las tensiones principales son iguales y del mismo signo, el elipsoide de tensiones se convierte en una esfera y tres direcciones perpendiculares cualesquiera pueden tomarse como ejes principales. [1]
Sin embargo, el elipsoide de tensión por sí solo no indica el plano en el que actúa el vector de tracción dado. Solo para el caso en el que el vector de tensiones se encuentra a lo largo de una de las direcciones principales, es posible conocer la dirección del plano, ya que las tensiones principales actúan perpendiculares a sus planos. Para encontrar la orientación de cualquier otro plano usamos la superficie del director de tensión [1] o el cuadriculado del director de tensión [1] representado por la ecuación
La tensión representada por un radio-vector del elipsoide de tensión actúa sobre un plano orientado paralelo al plano tangente a la superficie de la tensión-directora en el punto de su intersección con el radio-vector. [1]
Referencias
Bibliografía
- Timoshenko, Stephen P .; James Norman Goodier (1970). Teoría de la elasticidad (Tercera ed.). Ediciones internacionales de McGraw-Hill. ISBN 0-07-085805-5.
- Timoshenko, Stephen P. (1983). Historia de la resistencia de los materiales: con una breve reseña de la historia de la teoría de la elasticidad y la teoría de las estructuras . Libros de Dover sobre física. Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-61187-6.