La transformación de Landen es un mapeo de los parámetros de una integral elíptica , útil para la evaluación numérica eficiente de funciones elípticas. Originalmente se debió a John Landen y fue redescubierto de forma independiente por Carl Friedrich Gauss . [1]
En la formulación de Gauss, el valor de la integral
![{\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
no cambia si
y
son reemplazados por sus medias aritméticas y geométricas respectivamente, es decir
![{\displaystyle a_{1}={\frac {a+b}{2}},\qquad b_{1}={\sqrt {ab}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a_{1}^{2}\cos ^{2}(\theta )+b_{1}^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto,
![{\displaystyle I={\frac {1}{a}}K\left({\frac {\sqrt {(a^{2}-b^{2})}}{a}}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_{1}={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De la transformación de Landen concluimos
![{\displaystyle K\left({\frac {\sqrt {(a^{2}-b^{2})}}{a}}\right)={\frac {2a}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
.
Prueba
La transformación puede efectuarse mediante integración por sustitución . Es conveniente convertir primero la integral en forma algebraica mediante una sustitución de
,
donación
![I=\int _{0}^{{{\frac {\pi }{2}}}}{\frac {1}{{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}\,d\theta =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}}\,dx](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una nueva sustitución de
da el resultado deseado
![{\begin{aligned}I&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}}\,dx\\&=\int _{{-\infty }}^{\infty }{\frac {1}{2{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)(t^{2}+ab)}}}}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)\left(t^{2}+\left({\sqrt {ab}}\right)^{2}\right)}}}}\,dt\end{aligned}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este último paso se facilita escribiendo el radical como
![{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}=2x{\sqrt {t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y el infinitesimal como
![dx={\frac {x}{{\sqrt {t^{2}+ab}}}}\,dt](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
de modo que el factor de
se reconoce y cancela entre los dos factores.
Media aritmético-geométrica y primera integral de Legendre
Si la transformación se repite varias veces, los parámetros
y
convergen muy rápidamente a un valor común, incluso si inicialmente son de diferentes órdenes de magnitud. El valor límite se llama media aritmético-geométrica de
y
,
. En el límite, el integrando se convierte en una constante, por lo que la integración es trivial
![I=\int _{0}^{{{\frac {\pi }{2}}}}{\frac {1}{{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}\,d\theta =\int _{0}^{{{\frac {\pi }{2}}}}{\frac {1}{\operatorname {AGM}(a,b)}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2\,\operatorname {AGM}(a,b)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La integral también puede reconocerse como un múltiplo de la integral elíptica completa de Legendre del primer tipo . Poniendo
![I={\frac {1}{a}}\int _{0}^{{{\frac {\pi }{2}}}}{\frac {1}{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}\,d\theta ={\frac {1}{a}}F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)={\frac {1}{a}}K(k)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, para cualquier
, la media aritmético-geométrica y la integral elíptica completa del primer tipo están relacionadas por
![{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\,\operatorname {AGM} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Al realizar una transformación inversa (iteración media aritmética-geométrica inversa), es decir
![a_{{-1}}=a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![b_{{-1}}=a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![\operatorname {AGM}(a,b)=\operatorname {AGM}(a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}})\,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
la relación puede escribirse como
![{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\,\operatorname {AGM} ((1+k),(1-k))}}\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que puede resolverse para la AGM de un par de argumentos arbitrarios;
![\operatorname {AGM}(u,v)={\frac {\pi (u+v)}{4K\left({\frac {u-v}{v+u}}\right)}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)