Iteración Landweber

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La iteración de Landweber o el algoritmo de Landweber es un algoritmo para resolver problemas inversos lineales mal planteados , y se ha ampliado para resolver problemas no lineales que implican restricciones. El método fue propuesto por primera vez en la década de 1950 por Louis Landweber , ^[1] y ahora puede verse como un caso especial de muchos otros métodos más generales. ^[2]

El algoritmo Landweber original ^[1] intenta recuperar una señal x a partir de mediciones (ruidosas) y . La versión lineal supone que para un operador lineal A . Cuando el problema es de dimensiones finitas , A es solo una matriz.${\ displaystyle y = Ax}$

Cuando A no es singular , entonces una solución explícita lo es . Sin embargo, si A está mal acondicionado , la solución explícita es una mala elección ya que es sensible a cualquier ruido en los datos y . Si A es singular , esta solución explícita ni siquiera existe. El algoritmo Landweber es un intento de regularizar el problema y es una de las alternativas a la regularización de Tikhonov . Podemos ver el algoritmo Landweber como una solución:${\ Displaystyle x = A ^ {- 1} y}$

donde el factor de relajación satisface . Aquí está el valor singular más grande de . Si escribimos , entonces la actualización se puede escribir en términos del gradiente${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle 0 <\ omega <2 / \ sigma _ {1} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle f (x) = \ | Ax-y \ | _ {2} ^ {2} / 2}$

Para problemas mal planteados , el método iterativo debe detenerse en un índice de iteración adecuado, porque semi-converge. Esto significa que las iteraciones se acercan a una solución regularizada durante las primeras iteraciones, pero se vuelven inestables en las iteraciones posteriores. El recíproco del índice de iteración actúa como un parámetro de regularización. Se encuentra un parámetro adecuado cuando el desajuste se acerca al nivel de ruido.${\ Displaystyle 1 / k}$${\ Displaystyle \ | Ax_ {k} -y \ | _ {2} ^ {2}}$

El uso de la iteración de Landweber como algoritmo de regularización se ha discutido en la literatura. ^{[3] [4]}

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