Mapa lineal

Mapeo que conserva las operaciones de suma y multiplicación escalar

La "transformación lineal" vuelve a dirigir aquí. Para transformaciones lineales fraccionarias, consulte Transformación de Möbius .

No confundir con función lineal .

En matemáticas , un mapa lineal (también llamado mapeo lineal , transformación lineal , homomorfismo de espacio vectorial o, en algunos contextos, función lineal ) es un mapeo entre dos espacios vectoriales que conserva las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar . Los mismos nombres y la misma definición también se utilizan para el caso más general de módulos sobre un anillo ; ver Módulo de homomorfismo .${\displaystyle V\rightarrow W}$

Si un mapa lineal es una biyección , se denomina isomorfismo lineal . En el caso en que , un mapa lineal se denomina (lineal) endomorphism . A veces, el término operador lineal se refiere a este caso, ^[1] pero el término "operador lineal" puede tener diferentes significados para diferentes convenciones: por ejemplo, se puede usar para enfatizar que y son espacios vectoriales reales (no necesariamente con ), ^{[ cita requerida ]} o puede usarse para enfatizar que es un espacio funcional , que es una convención común en el análisis funcional .${\displaystyle V=W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V=W}$${\displaystyle V}$^[2] A veces, el término función lineal tiene el mismo significado que mapa lineal , mientras que en el análisis no lo tiene.

Un mapa lineal de V a W asignen siempre el origen de V con el origen de W . Además, mapea subespacios lineales en V sobre subespacios lineales en W (posiblemente de una dimensión más baja ); ^[3] Por ejemplo, se asigna un plano a través del origen en V ya sea a un plano que pasa por el origen en W , una línea a través del origen en W , o simplemente el origen en W . Los mapas lineales a menudo se pueden representar como matricesy ejemplos simples incluyen transformaciones lineales de rotación y reflexión .

En el lenguaje de la teoría de categorías , los mapas lineales son los morfismos de los espacios vectoriales.

Definición y primeras consecuencias

Sean y sean espacios vectoriales sobre el mismo campo . Se dice que una función es un mapa lineal si para dos vectores cualesquiera y cualquier escalar se satisfacen las dos condiciones siguientes:${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle f:V\rightarrow W}$${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c\in K}$

${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$	aditividad / operación de adición
${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$	homogeneidad de grado 1 / operación de multiplicación escalar

Por lo tanto, se dice que un mapa lineal preserva la operación . En otras palabras, no importa si el mapa lineal se aplica antes (el lado derecho de los ejemplos anteriores) o después (el lado izquierdo de los ejemplos) de las operaciones de suma y multiplicación escalar.

Por la asociatividad de la operación de suma denotada como +, para cualquier vector y escalar se cumple la siguiente igualdad: ^{[4] [5]}${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$

${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$

Denotando los elementos cero de los espacios vectoriales y por y respectivamente, se sigue que Let y en la ecuación de homogeneidad de grado 1:${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$${\displaystyle c=0}$${\textstyle \mathbf {v} \in V}$

${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$

Ocasionalmente, y pueden ser espacios vectoriales en diferentes campos. Entonces es necesario especificar cuál de estos campos de tierra se está utilizando en la definición de "lineal". Si y son espacios sobre el mismo campo que el anterior, hablamos de mapas lineales. Por ejemplo, la conjugación de números complejos es un mapa lineal , pero no es lineal, donde y son símbolos que representan los conjuntos de números reales y números complejos, respectivamente.${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Un mapa lineal con visto como un espacio de vector unidimensional sobre sí mismo se llama un funcional lineal . ^[6]${\displaystyle V\rightarrow K}$${\displaystyle K}$

Estas declaraciones se generalizan a cualquier módulo izquierdo sobre un anillo sin modificación, y a cualquier módulo derecho al invertir la multiplicación escalar.${\textstyle {}_{R}M}$${\displaystyle R}$

Ejemplos

• Un ejemplo prototípico que da a los mapas lineales su nombre es una función , de la cual el gráfico es una línea que pasa por el origen. ^[7]${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto cx}$
• Más en general, cualquier homotecia donde centrada en el origen de un espacio vectorial es un mapa lineal.${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$${\displaystyle c}$
• El mapa cero entre dos espacios vectoriales (sobre el mismo campo ) es lineal.${\textstyle x\mapsto 0}$
• El mapa de identidad de cualquier módulo es un operador lineal.
• Para números reales, el mapa no es lineal.${\textstyle x\mapsto x^{2}}$
• Para los números reales, el mapa no es lineal (pero es una transformación afín ).${\textstyle x\mapsto x+1}$
• Si es una matriz real , a continuación, define un mapa lineal de a mediante el envío de un vector de columna para el vector columna . A la inversa, cualquier mapa lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar de esta manera; consulte las § Matrices , a continuación.${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Ax\in \mathbb {R} ^{m}}$
• Si es una isometría entre espacios normativos reales , entonces es un mapa lineal. Este resultado no es necesariamente cierto para el espacio normado complejo. ^[8]${\textstyle f:V\rightarrow W}$${\textstyle f(0)=0}$${\displaystyle f}$
• La diferenciación define un mapa lineal desde el espacio de todas las funciones diferenciables hasta el espacio de todas las funciones. También define un operador lineal en el espacio de todas las funciones suaves (un operador lineal es un endomorfismo lineal , es decir, un mapa lineal donde el dominio y codominio del mismo es el mismo). Un ejemplo es${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({c_{1}}{f_{1}}\left(x\right)+{c_{2}}{f_{2}}\left(x\right)+\cdots +{c_{n}}{f_{n}}\left(x\right)\right)={c_{1}}{\frac {d{f_{1}}\left(x\right)}{dx}}+{c_{2}}{\frac {d{f_{2}}\left(x\right)}{dx}}+\cdots +{c_{n}}{\frac {d{f_{n}}\left(x\right)}{dx}}.}$
• Una integral definida sobre algún intervalo I es un mapa lineal desde el espacio de todas las funciones integrables de valor real en I hasta . Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \int _{a}^{b}{[{c_{1}}{f_{1}}(x)+{c_{2}}{f_{2}}(x)+\cdots +{c_{n}}{f_{n}}(x)]dx}={c_{1}}\int _{a}^{b}{{f_{1}}(x)dx}+{c_{2}}\int _{a}^{b}{{f_{2}}(x)dx}+\cdots +{c_{n}}\int _{a}^{b}{{f_{n}}(x)dx}.}$
• Una integral indefinida (o antiderivada ) con un punto de inicio de integración fijo define un mapa lineal desde el espacio de todas las funciones integrables de valor real hasta el espacio de todas las funciones diferenciables de valor real en . Sin un punto de partida fijo, la antiderivada se asigna al espacio del cociente de las funciones diferenciables por el espacio lineal de funciones constantes.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Si y son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo F , de dimensiones respectivas m y n , entonces la función que mapea mapas lineales a n × m matrices en la forma descrita en § Matrices (abajo) es un mapa lineal, e incluso una isomorfismo lineal .${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle f:V\rightarrow W}$
• El valor esperado de una variable aleatoria (que de hecho es una función y, como tal, un elemento de un espacio vectorial) es lineal, como para las variables aleatorias y tenemos y , pero la varianza de una variable aleatoria no es lineal.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$

• La función con es un mapa lineal. Esta función escala el componente de un vector por el factor .${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle x}$${\textstyle 2}$

• La función es aditiva: no importa si los vectores se agregan primero y luego se mapean o si se mapean y finalmente se agregan:${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$

• La función es homogénea: no importa si un vector se escala primero y luego se asigna o primero se asigna y luego se escala:${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}$

Matrices

Artículo principal: Matriz de transformación

Si y son espacios vectoriales de dimensión finita y se define una base para cada espacio vectorial, entonces cada mapa lineal desde hasta puede representarse mediante una matriz . ^[9] Esto es útil porque permite cálculos concretos. Las matrices dan ejemplos de mapas lineales: si es una matriz real , entonces describe un mapa lineal (ver espacio euclidiano ).${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle f(x)=Ax}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

Dejar que sea una base para . Entonces, cada vector está determinado de forma única por los coeficientes en el campo :${\displaystyle \{{\mathbf {v}}_{1},\ldots ,{\mathbf {v}}_{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathbf {v}}\in V}$${\displaystyle {\mathbf {c}}_{1},\ldots ,{\mathbf {c}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$

Si es un mapa lineal,${\textstyle f:V\rightarrow W}$

${\displaystyle f\left(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\right)=c_{1}f\left(\mathbf {v} _{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$

lo que implica que la función f está totalmente determinada por los vectores . Ahora vamos a ser una base para . Entonces podemos representar cada vector como${\displaystyle f({\mathbf {v}}_{1}),\ldots ,f({\mathbf {v}}_{n})}$${\displaystyle \{{\mathbf {w}}_{1},\ldots ,{\mathbf {w}}_{m}\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f({\mathbf {v}}_{j})}$

${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$

Por tanto, la función está totalmente determinada por los valores de . Si colocamos estos valores en una matriz , entonces podemos usarlos convenientemente para calcular la salida del vector de para cualquier vector en . Para obtener , cada columna de es un vector${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle j}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}&\cdots &a_{mj}\end{pmatrix}}^{\textsf {T}}}$

correspondiente a como se definió anteriormente. Para definirlo más claramente, para alguna columna que corresponda al mapeo ,${\displaystyle f({\mathbf {v}}_{j})}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f({\mathbf {v}}_{j})}$

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$

donde está la matriz de . En otras palabras, cada columna tiene un vector correspondiente cuyas coordenadas son los elementos de la columna . Un solo mapa lineal puede estar representado por muchas matrices. Esto se debe a que los valores de los elementos de una matriz dependen de las bases elegidas.${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle f({\mathbf {v}}_{j})}$${\displaystyle a_{1j}+\cdots +a_{mj}}$${\displaystyle j}$

Las matrices de una transformación lineal se pueden representar visualmente:

1. Matriz para relativo a :${\textstyle T}$${\textstyle B}$${\textstyle A}$
2. Matriz para relativo a :${\textstyle T}$${\textstyle B'}$${\textstyle A'}$
3. Matriz de transición de a :${\textstyle B'}$${\textstyle B}$${\textstyle P}$
4. Matriz de transición de a :${\textstyle B}$${\textstyle B'}$${\textstyle P^{-1}}$

De tal manera que a partir de la esquina inferior izquierda y en busca de la esquina inferior derecha , se podría multiplicar izquierdo, es decir, . El método equivalente sería el método "más largo" que va en el sentido de las agujas del reloj desde el mismo punto de manera que se multiplica a la izquierda con , o .${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\textstyle P^{-1}AP}$${\textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$

Ejemplos en la dimensión dos

En el espacio bidimensional, los mapas lineales R ² se describen mediante matrices 2 × 2 . Estos son algunos ejemplos:

• rotación
  • por 90 grados en sentido antihorario:

    ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

  • en un ángulo θ en sentido antihorario:

    ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

• reflexión
  • a través del eje x :

    ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

  • a través del eje y :

    ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

  • a través de una línea que forma un ángulo θ con el origen:

    ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos {2\theta }&\sin {2\theta }\\\sin {2\theta }&-\cos {2\theta }\end{pmatrix}}}$

• escala en 2 en todas las direcciones:

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$

• mapeo de corte horizontal :

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$

• mapeo de compresión :

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$

• proyección sobre el eje y :

  ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Espacio vectorial de mapas lineales

La composición de los mapas lineales es lineal: si y son lineales, también lo es su composición . De esto se deduce que la clase de todos los espacios vectoriales sobre un campo dado K , junto con K -mapas lineales como morfismos , forma una categoría .${\displaystyle f:V\rightarrow W}$${\textstyle g:W\rightarrow Z}$ ${\textstyle g\circ f:V\rightarrow Z}$

La inversa de un mapa lineal, cuando se define, es nuevamente un mapa lineal.

Si y son lineales, entonces también lo es su suma puntual , que está definida por .${\textstyle f_{1}:V\rightarrow W}$${\textstyle f_{2}:V\rightarrow W}$${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)}$

Si es lineal y es un elemento del campo terrestre , entonces el mapa , definido por , también es lineal.${\textstyle f:V\rightarrow W}$${\textstyle \alpha }$${\textstyle K}$${\textstyle \alpha f}$${\textstyle (\alpha f)(x)=\alpha (f(x))}$

Así, el conjunto de mapas lineales desde a sí mismo forma un espacio vectorial sobre , ^{[10] a} veces denotado . ^[11] Además, en el caso de que este espacio vectorial, denotado , sea un álgebra asociativa bajo composición de mapas , ya que la composición de dos mapas lineales es nuevamente un mapa lineal, y la composición de mapas es siempre asociativa. Este caso se analiza con más detalle a continuación.${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\textstyle K}$${\textstyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\textstyle V=W}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

Dado nuevamente el caso de dimensión finita, si se han elegido bases, entonces la composición de mapas lineales corresponde a la multiplicación de matrices , la suma de mapas lineales corresponde a la suma de matrices y la multiplicación de mapas lineales con escalares corresponde a la multiplicación de matrices con escalares.

Endomorfismos y automorfismos

Artículos principales: Endomorfismo y Automorfismo

Una transformación lineal es un endomorfismo de ; el conjunto de todos estos endomorfismos junto con la suma, composición y multiplicación escalar como se definió anteriormente forma un álgebra asociativa con elemento de identidad sobre el campo (y en particular un anillo ). El elemento de identidad multiplicativo de este álgebra es el mapa de identidad .${\textstyle f:V\rightarrow V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {id} :V\rightarrow V}$

Un endomorfismo de que también es un isomorfismo se llama automorfismo de . La composición de dos automorfismos es nuevamente un automorfismo, y el conjunto de todos los automorfismos de forma un grupo , cuyo grupo de automorfismos se denota por o . Dado que los automorfismos son precisamente aquellos endomorfismos que poseen inversos en la composición, es el grupo de unidades en el anillo .${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\textstyle \operatorname {GL} (V)}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

Si tiene dimensión finita , entonces es isomorfo al álgebra asociativa de todas las matrices con entradas en . El grupo automorphism de es isomorfo al grupo lineal general de todas las matrices invertibles con entradas en .${\textstyle V}$${\textstyle n}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle K}$${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle K}$

Núcleo, imagen y teorema de rango-nulidad

Artículos principales: Kernel (álgebra lineal) , Imagen (matemáticas) y Rango de una matriz

Si es lineal, definimos el kernel y la imagen o rango de por${\textstyle f:V\rightarrow W}$${\textstyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,w\in W:w=f(x),x\in V\,\}\end{aligned}}}$

${\textstyle \ker(f)}$es un subespacio de y es un subespacio de . La siguiente fórmula de dimensión se conoce como teorema de rango-nulidad :${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {im} (f)}$${\textstyle W}$

${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$^[12]

El número también se denomina rango de y se escribe como , oa veces ,; ^{[13] [14]} el número se llama nulidad de y se escribe como o . ^{[13] [14]} Si y son de dimensión finita, las bases han sido elegidas y están representadas por la matriz , entonces el rango y la nulidad de son iguales al rango y la nulidad de la matriz , respectivamente.${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$${\textstyle f}$${\textstyle \operatorname {rank} (f)}$${\textstyle \rho (f)}$${\textstyle \dim(\ker(f))}$${\textstyle f}$${\textstyle \operatorname {null} (f)}$${\textstyle \nu (f)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\textstyle f}$${\textstyle A}$${\textstyle f}$${\textstyle A}$

Cokernel

Artículo principal: conúcleo

Un invariante más sutil de una transformación lineal es el núcleo co , que se define como${\textstyle f:V\to W}$

${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$

Esta es la noción dual del kernel: así como el kernel es un subespacio del dominio, el co-kernel es un espacio cociente del objetivo. Formalmente, uno tiene la secuencia exacta

${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$

Estos se pueden interpretar así: dada una ecuación lineal f ( v ) = w para resolver,

• el núcleo es el espacio de soluciones de la ecuación homogénea f ( v ) = 0, y su dimensión es el número de grados de libertad en el espacio de soluciones, si no está vacío;
• el co-kernel es el espacio de restricciones que deben satisfacer las soluciones, y su dimensión es el número máximo de restricciones independientes.

La dimensión del co-kernel y la dimensión de la imagen (el rango) se suman a la dimensión del espacio objetivo. Para las dimensiones finitas, significa esto que la dimensión del espacio de cociente W / f ( V ) es la dimensión del espacio objetivo menos la dimensión de la imagen.

Como ejemplo simple, considere el mapa f : R ² → R ² , dado por f ( x , y ) = (0, y ). Entonces, para que una ecuación f ( x , y ) = ( a , b ) tenga una solución, debemos tener a = 0 (una restricción), y en ese caso el espacio de la solución es ( x , b ) o en forma equivalente, ( 0, b ) + ( x , 0), (un grado de libertad). El núcleo se puede expresar como el subespacio ( x , 0) < V: el valor de x es la libertad en una solución - mientras que el cokernel puede expresarse mediante el mapa W → R , dado un vector ( a , b ), el valor de a es la obstrucción para que exista una solución.${\textstyle (a,b)\mapsto (a):}$

Un ejemplo que ilustra el caso de dimensión infinita lo proporciona el mapa f : R ^∞ → R ^∞ , con b ₁ = 0 y b _{n + 1} = a _n para n > 0. Su imagen consta de todas las secuencias con el primer elemento 0, y así su cokernel consiste en las clases de secuencias con un primer elemento idéntico. Por lo tanto, mientras que su kernel tiene dimensión 0 (asigna solo la secuencia cero a la secuencia cero), su co-kernel tiene dimensión 1. Dado que el dominio y el espacio de destino son el mismo, el rango y la dimensión del kernel se suman a la misma suma${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$como el rango y la dimensión del co-kernel ( ), pero en el caso de dimensión infinita no se puede inferir que el kernel y el co-kernel de un endomorfismo tengan la misma dimensión (0 ≠ 1). La situación inversa se obtiene para el mapa h : R ^∞ → R ^∞ , con c _n = a _{n + 1} . Su imagen es el espacio de destino completo y, por lo tanto, su co-kernel tiene dimensión 0, pero dado que mapea todas las secuencias en las que solo el primer elemento es distinto de cero a la secuencia cero, su kernel tiene dimensión 1.${\textstyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$

Índice

Para un operador lineal con kernel y co-kernel de dimensión finita, se puede definir el índice como:

${\displaystyle \operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),}$

es decir, los grados de libertad menos el número de restricciones.

Para una transformación entre espacios vectoriales de dimensión finita, esta es solo la diferencia dim ( V ) - dim ( W ), por rango-nulidad. Esto da una indicación de cuántas soluciones o cuántas restricciones tiene uno: si se mapea de un espacio más grande a uno más pequeño, el mapa puede estar en y, por lo tanto, tendrá grados de libertad incluso sin restricciones. Por el contrario, si se realiza un mapeo de un espacio más pequeño a uno más grande, el mapa no puede estar en y, por lo tanto, uno tendrá restricciones incluso sin grados de libertad.

El índice de un operador es precisamente la característica de Euler del complejo de 2 términos 0 → V → W → 0. En la teoría de operadores , el índice de los operadores de Fredholm es un objeto de estudio, con un resultado importante siendo el teorema del índice de Atiyah-Singer . ^[15]

Clasificaciones algebraicas de transformaciones lineales

Ninguna clasificación de mapas lineales podría ser exhaustiva. La siguiente lista incompleta enumera algunas clasificaciones importantes que no requieren ninguna estructura adicional en el espacio vectorial.

Sea V y W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T : V → W un mapa lineal.

Definición : Se dice que T es inyectivo o un monomorfismo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. T es uno a uno como un mapa de conjuntos .
2. ker T = {0 _V }
3. dim (ker T ) = 0
4. T es mónico o izquierda cancelable, es decir, para cualquier espacio vector T y cualquier par de lineal mapea R : T → V y S : U → V , la ecuación TR = TS implica R = S .
5. T se dejó-invertible , es decir, existe un mapa lineal S : W → V tal que ST es el mapa de identidad en V .

Definición : Se dice que T es sobreyectiva o un epimorfismo si alguna de las siguientes condiciones equivalentes es verdadera:

1. T está sobre como un mapa de conjuntos.
2. coquizador T = {0 _W }
3. T es epic o derecha cancelable, es decir, para cualquier espacio vector T y cualquier par de lineal mapea R : W → U y S : W → U , la ecuación RT = ST implica R = S .
4. T es el botón derecho del invertible , es decir, existe una aplicación lineal S : W → V tal que TS es la aplicación identidad de W .

Definición : Se dice que T es un isomorfismo si es invertible tanto a la izquierda como a la derecha. Esto es equivalente a que T sea ​​tanto uno a uno como sobre (una biyección de conjuntos) o también que T sea ​​tanto épico como mónico, y por lo tanto un bimorfismo .

Si T : V → V es un endomorfismo, entonces:

• Si, para algún entero positivo n , la n -ésima iteración de T , T ⁿ , es idénticamente cero, entonces se dice que T es nilpotente .
• Si T ² = T , entonces se dice que T es idempotente
• Si T = kI , donde k es un escalar, entonces se dice que T es una transformación de escala o un mapa de multiplicación escalar; ver matriz escalar .

Cambio de base

Artículos principales: Base (álgebra lineal) y Cambio de base

Dado un mapa lineal que es un endomorfismo cuya matriz es A , en la base B del espacio transforma las coordenadas vectoriales [u] en [v] = A [u]. Como los vectores cambian con la inversa de B (los vectores son contravariantes ), su transformación inversa es [v] = B [v '].

Sustituyendo esto en la primera expresión

${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$

por eso

${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$

Por lo tanto, la matriz en la nueva base es A ′ = B ⁻¹ AB , siendo B la matriz de la base dada.

Por lo tanto, se dice que los mapas lineales son objetos 1-co-1-contra- variantes , o tensores de tipo (1, 1) .

Continuidad

Artículos principales: Operador lineal continuo y Mapa lineal discontinuo

Una transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos , por ejemplo , espacios normativos , puede ser continua . Si su dominio y codominio son iguales, entonces será un operador lineal continuo . Un operador lineal en un espacio lineal normado es continuo si y solo si está acotado , por ejemplo, cuando el dominio es de dimensión finita. ^[16] Un dominio de dimensión infinita puede tener operadores lineales discontinuos .

Un ejemplo de una transformación lineal ilimitada, por lo tanto discontinua, es la diferenciación en el espacio de funciones suaves equipadas con la norma superior (una función con valores pequeños puede tener una derivada con valores grandes, mientras que la derivada de 0 es 0). Para un ejemplo específico, sin ( nx ) / n converge a 0, pero su derivada cos ( nx ) no, por lo que la diferenciación no es continua en 0 (y por una variación de este argumento, no es continua en ninguna parte).

Aplicaciones

Una aplicación específica de los mapas lineales es para transformaciones geométricas, como las realizadas en gráficos por computadora , donde la traslación, rotación y escalado de objetos 2D o 3D se realiza mediante el uso de una matriz de transformación . Los mapeos lineales también se utilizan como mecanismo para describir el cambio: por ejemplo, en cálculo corresponden a derivadas; o en relatividad, utilizado como un dispositivo para realizar un seguimiento de las transformaciones locales de los marcos de referencia.

Otra aplicación de estas transformaciones es en las optimizaciones del compilador de código de bucle anidado y en la paralelización de las técnicas del compilador .

Ver también

Wikibooks tiene un libro sobre el tema de: Transformaciones Álgebra Lineal / Lineal

• Mapa antilineal
• Función doblada
• Operador acotado
• Operador lineal continuo
• Funcional lineal
• Isometria lineal

Notas

1. "Las transformaciones lineales de V en V a menudo se denominan operadores lineales en V ". Rudin 1976 , p. 207
2. Sean V y W dos espacios vectoriales reales. Un mapeo a de V a W se denomina 'mapeo lineal' o 'transformación lineal' u 'operador lineal' [...] de V a W , si espara todos,para todosy todos los λ reales. Bronshtein y Semendyayev 2004 , pág. 316
   ${\textstyle a(u+v)=au+av}$${\textstyle u,v\in V}$
   ${\textstyle a(\lambda u)=\lambda au}$${\displaystyle u\in V}$
3. Rudin 1991 , p. 14
   Aquí hay algunas propiedades de los mapeos linealescuyas demostraciones son tan fáciles que las omitimos; se supone quey:${\textstyle \Lambda :X\to Y}$${\textstyle A\subset X}$${\textstyle B\subset Y}$
   1. ${\textstyle \Lambda 0=0.}$
   2. Si A es un subespacio (o un conjunto convexo , o un conjunto equilibrado ), lo mismo ocurre con${\textstyle \Lambda (A)}$
   3. Si B es un subespacio (o un conjunto convexo o un conjunto equilibrado), lo mismo ocurre con${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$
   4. En particular, el conjunto:

      ${\displaystyle \Lambda ^{-1}(\{0\})=\{x\in X:\Lambda x=0\}={N}(\Lambda )}$

      es un subespacio de X , llamado espacio nulo de .${\textstyle \Lambda }$
4. Rudin 1991 , p. 14. Suponga ahora que X e Y son espacios vectoriales sobre el mismo campo escalar . Sedice queun mapeoes lineal sipara todosy todos los escalaresy. Tenga en cuenta que uno escribe a menudo, en lugar de, cuandoes lineal.${\textstyle \Lambda :X\to Y}$${\textstyle \Lambda (\alpha x+\beta y)=\alpha \Lambda x+\beta \Lambda y}$${\textstyle x,y\in X}$${\textstyle \alpha }$${\textstyle \beta }$${\textstyle \Lambda x}$${\textstyle \Lambda (x)}$${\textstyle \Lambda }$
5. Rudin 1976 , p. 206. Un mapeo A de un espacio vectorial X en un espacio vectorial Y se dice que es una transformación lineal si:para todosy todos los escalares c . Tenga en cuenta que a menudo se escribe enlugar desi A es lineal.${\textstyle A\left({\bf {{x}_{1}+{\bf {{x}_{2}}}}}\right)=A{\bf {{x}_{1}+A{\bf {{x}_{2},\ A(c{\bf {{x})=cA{\bf {x}}}}}}}}}$${\textstyle {\bf {{x},{\bf {{x}_{1},{\bf {{x}_{2}\in X}}}}}}}$${\textstyle A{\bf {x}}}$${\textstyle A({\bf {{x})}}}$
6. Rudin 1991 , p. 14. Las asignaciones lineales de X en su campo escalar se denominan funcionales lineales .
7. "terminología - ¿Qué significa 'lineal' en álgebra lineal?" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 17 de febrero de 2021 .
8. Wilansky , 2013 , págs. 21-26.
9. Rudin 1976 , p. 210 Suponga queyson bases de los espacios vectoriales X e Y , respectivamente. Entonces cadadetermina un conjunto de númerostales que${\textstyle \left\{{\bf {{x}_{1},\ldots ,{\bf {{x}_{n}}}}}\right\}}$${\textstyle \left\{{\bf {{y}_{1},\ldots ,{\bf {{y}_{m}}}}}\right\}}$${\textstyle A\in L(X,Y)}$${\textstyle a_{i,j}}$

   ${\displaystyle A{\bf {{x}_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}{\bf {{y}_{i}\quad (1\leq j\leq n).}}}}}$

   Es conveniente representar estos números en una matriz rectangular de m filas yn columnas, llamada matriz m por n :

   ${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}$

   Observe que las coordenadas del vector (con respecto a la base ) aparecen en la j- ^ésima columna de . Por lo tanto, los vectores a veces se denominan vectores columna de . Con esta terminología, el rango de A se divide en los vectores columna de .${\textstyle a_{i,j}}$${\textstyle A{\bf {x}}_{j}}$${\textstyle \{{\bf {{y}_{1},\ldots ,{\bf {{y}_{m}\}}}}}}$${\textstyle [A]}$${\textstyle A{\bf {x}}_{j}}$${\textstyle [A]}$ ${\textstyle [A]}$
10. Axler (2015) p. 52, párrafo 3.3
11. Tu (2011) , p. 19, párrafo 3.1
12. Horn & Johnson 2013 , 0.2.3 Espacios vectoriales asociados con una matriz o transformación lineal, p. 6
13. Katznelson y Katznelson (2008) p. 52, párrafo 2.5.1
14. Halmos (1974) p. 90, párrafo 50
15. Nistor, Victor (2001) [1994], "Teoría del índice" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press: "La cuestión principal en la teoría de índices es proporcionar fórmulas de índice para las clases de operadores de Fredholm ... La teoría de índices se ha convertido en un tema por sí solo después de que MF Atiyah y I. Singer publicaron sus teoremas de índices"
16. Rudin 1991 , p. 15 1.18 Teorema Let ser un funcional lineal en un espacio vectorial topológico X . Supongo que para algunos . Entonces, cada una de las siguientes cuatro propiedades implica las otras tres:${\textstyle \Lambda }$${\textstyle \Lambda x\neq 0}$${\textstyle x\in X}$
    1. ${\textstyle \Lambda }$ es continuo
    2. El espacio nulo está cerrada.${\textstyle N(\Lambda )}$
    3. ${\textstyle N(\Lambda )}$No es denso en X .
    4. ${\textstyle \Lambda }$está acotado en alguna vecindad V de 0.

Bibliografía

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