En las matemáticas , la transformada de Laplace es un poderoso transformada integral utiliza para cambiar una función del dominio del tiempo al dominio s . La transformada de Laplace se puede utilizar en algunos casos para resolver ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales dadas .
Primero considere la siguiente propiedad de la transformada de Laplace:
Se puede probar por inducción que
Ahora consideramos la siguiente ecuación diferencial:
con las condiciones iniciales dadas
Usando la linealidad de la transformada de Laplace es equivalente a reescribir la ecuación como
obtención
Resolviendo la ecuación para y sustituyendo con Se obtiene
La solución para f ( t ) se obtiene aplicando la transformada inversa de Laplace a
Tenga en cuenta que si las condiciones iniciales son todas cero, es decir
entonces la fórmula se simplifica a
Queremos resolver
con condiciones iniciales f (0) = 0 y f ′ (0) = 0.
Notamos eso
y obtenemos
La ecuación es entonces equivalente a
Deducimos
Ahora aplicamos la transformada inversa de Laplace para obtener