Ley de la expectativa total
La proposición en la teoría de la probabilidad conocida como la ley de la expectativa total , [1] la ley de las expectativas iteradas [2] ( MENTIRA ), la regla de la torre , [3] la ley de Adam y el teorema de suavizado , [4] entre otros nombres, establece que si es una variable aleatoria cuyo valor esperado está definido, y es cualquier variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad , entonces
es decir, el valor esperado del valor esperado condicional de dado es el mismo que el valor esperado de .
Un caso especial establece que si es una partición finita o numerable del espacio muestral , entonces
Nota: El valor esperado condicional E( X | Z ) es una variable aleatoria cuyo valor depende del valor de Z . Tenga en cuenta que el valor esperado condicional de X dado el evento Z = z es una función de z . Si escribimos E( X | Z = z ) = g ( z ) entonces la variable aleatoria E( X | Z ) es g ( Z ). Se aplican comentarios similares a la covarianza condicional.
Suponga que solo dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas de fábrica funcionan durante un promedio de 5000 horas, mientras que las bombillas de fábrica funcionan durante un promedio de 4000 horas. Se sabe que la fábrica suministra el 60% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es el tiempo esperado durante el cual funcionará una bombilla comprada?
Deje que las variables aleatorias y , definidas en el mismo espacio de probabilidad, supongan un conjunto finito o numerablemente infinito de valores finitos. Supongamos que está definido, es decir, . Si es una partición del espacio de probabilidad , entonces
![\nombre del operador {E} [X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dd294aa33c0865f58e2b1bdaf44ebe911dbf93)
![{\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9afd1015b1795b9d746e902eadae41120fb080)
