En la teoría de la probabilidad , la ley del logaritmo iterado describe la magnitud de las fluctuaciones de un paseo aleatorio . El enunciado original de la ley del logaritmo iterado se debe a A. Ya. Khinchin (1924). [1] AN Kolmogorov dio otra declaración en 1929. [2]
Declaración
Sea { Y n } variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica con medias cero y varianzas unitarias. Sea S n = Y 1 + ... + Y n . Luego
donde "log" es el logaritmo natural , "lim sup" denota el límite superior y "as" significa " casi seguro ". [3] [4]
Discusión
La ley de los logaritmos iterados opera "entre" la ley de los grandes números y el teorema del límite central . Hay dos versiones de la ley de los grandes números, la débil y la fuerte , y ambas establecen que las sumas S n , escaladas por n −1 , convergen a cero, respectivamente en probabilidad y casi con seguridad :
Por otro lado, el teorema del límite central establece que las sumas S n escaladas por el factor n −½ convergen en distribución a una distribución normal estándar. Según la ley cero uno de Kolmogorov , para cualquier M fijo , la probabilidad de que el evento ocurre es 0 o 1. Entonces
entonces
Un argumento idéntico muestra que
Esto implica que estas cantidades no pueden converger casi con seguridad. De hecho, ni siquiera pueden converger en probabilidad, lo que se sigue de la igualdad
y el hecho de que las variables aleatorias
son independientes y ambos convergen en distribución para
La ley del logaritmo iterado proporciona el factor de escala donde los dos límites se vuelven diferentes:
Así, aunque la cantidad es menor que cualquier ε > 0 predefinido con una probabilidad cercana a uno, la cantidad será, no obstante, mayor que ε infinitamente a menudo; de hecho, la cantidad estará visitando las cercanías de cualquier punto del intervalo (-1,1) casi con seguridad.
Generalizaciones y variantes
La ley del logaritmo iterado (LIL) para una suma de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) con media cero e incremento acotado se remonta a Khinchin y Kolmogorov en la década de 1920.
Desde entonces, ha habido una enorme cantidad de trabajo en el LIL para varios tipos de estructuras dependientes y para procesos estocásticos. La siguiente es una pequeña muestra de desarrollos notables.
Hartman-Wintner (1940) generalizó LIL a caminatas aleatorias con incrementos con media cero y varianza finita. De Acosta (1983) dio una prueba simple de la versión Hartman-Wintner del LIL. [5]
Strassen (1964) estudió la LIL desde el punto de vista de los principios de invariancia. [6]
Stout (1970) generalizó el LIL a martingalas ergódicas estacionarias. [7]
Wittmann (1985) generalizó la versión Hartman-Wintner de LIL a caminatas aleatorias que satisfacen condiciones más suaves. [8]
Vovk (1987) derivó una versión de LIL válida para una sola secuencia caótica (secuencia aleatoria de Kolmogorov). [9] Esto es notable, ya que está fuera del ámbito de la teoría de probabilidad clásica.
Yongge Wang (1996) mostró que la ley del logaritmo iterado también es válida para las secuencias pseudoaleatorias de tiempo polinómico. [10] [11] La herramienta de prueba de software basada en Java prueba si un generador pseudoaleatorio genera secuencias que satisfacen el LIL.
Balsubramani (2014) demostró un LIL no asintótico que se mantiene sobre caminos de muestra de martingala de tiempo finito . [12] Esto incluye la martingala LIL, ya que proporciona límites coincidentes de concentración y anti-concentración de muestras finitas, y permite pruebas secuenciales [13] y otras aplicaciones. [14]
Ver también
Notas
- ^ A. Khinchine . "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Fundamenta Mathematicae 6 (1924): págs. 9-20 (El nombre del autor se muestra aquí en una transliteración alternativa).
- ^ A. Kolmogoroff . "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus" . Mathematische Annalen , 101: 126-135, 1929. (En el sitio web de Göttinger DigitalisierungsZentrum )
- ^ Leo Breiman . Probabilidad . Edición original publicada por Addison-Wesley, 1968; reimpreso por Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (Ver secciones 3.9, 12.9 y 12.10; Teorema 3.52 específicamente).
- ^ Varadhan, Procesos estocásticos SRS. Courant Lecture Notes in Mathematics, 16. Instituto Courant de Ciencias Matemáticas, Nueva York; Sociedad Americana de Matemáticas , Providence, RI, 2007.
- ^ A. de Acosta: " Una nueva prueba de la ley de Hartman-Wintner del logaritmo iterado ". Ana. Probab., 1983.
- ^ V. Strassen: " Un principio de invariancia para la ley del logaritmo iterado ". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 1964.
- ^ WF Stout: " La ley de Hartman-Wintner del logaritmo iterado para martingalas ". Ana. Matemáticas. Estadista, 1970.
- ^ R. Wittmann: " Una ley general del logaritmo iterado ". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 1985.
- ^ V. Vovk: " La ley del logaritmo iterado para secuencias de Kolmogorov aleatorias o caóticas ". Teoría Probab. Appl., 1987.
- ^ Y. Wang: " La ley del logaritmo iterado para p -secuencias aleatorias ". En: Proc. 11th IEEE Conference on Computational Complexity (CCC), páginas 180–189. IEEE Computer Society Press, 1996.
- ^ Y. Wang: Aleatoriedad y complejidad . Tesis doctoral, 1996.
- ^ A. Balsubramani: "Concentración aguda de martingala en logaritmos iterados en tiempo finito ". arXiv: 1405.2639.
- ^ A. Balsubramani y A. Ramdas: " Prueba secuencial no paramétrica con la ley del logaritmo iterado ". 32º Congreso sobre Incertidumbre en Inteligencia Artificial (UAI).
- ^ C. Daskalakis y Y. Kawase: " Reglas de parada óptimas para pruebas de hipótesis secuenciales ". En el 25o Simposio Europeo Anual de Algoritmos (ESA 2017). Schloss Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik.