En la teoría de la probabilidad , la ley de covarianza total , [1] fórmula de descomposición de covarianza o fórmula de covarianza condicional establece que si X , Y y Z son variables aleatorias en el mismo espacio de probabilidad , y la covarianza de X e Y es finita, entonces
La nomenclatura en el título de este artículo es análoga a la frase ley de la varianza total . Algunos escritores sobre probabilidad llaman a esto la " fórmula de covarianza condicional " [2] o usan otros nombres.
Nota: El condicional valores esperados E ( X | Z ) y E ( Y | Z ) son variables aleatorias cuyos valores dependen del valor de Z . Tenga en cuenta que el valor esperado condicional de X dado el evento Z = z es una función de z . Si escribimos E ( X | Z = z ) = g ( z ) entonces la variable aleatoria E ( X | Z ) es g ( Z ). Se aplican comentarios similares a la covarianza condicional.
La ley de la covarianza total se puede demostrar usando la ley de la expectativa total : Primero,
a partir de una identidad estándar simple sobre covarianzas. Luego aplicamos la ley de la expectativa total condicionando la variable aleatoria Z :
Ahora reescribimos el término dentro de la primera expectativa usando la definición de covarianza:
Dado que la expectativa de una suma es la suma de las expectativas, podemos reagrupar los términos:
Finalmente, reconocemos los dos últimos términos como la covarianza de las expectativas condicionales E [ X | Z ] y E [ Y | Z ]: