En análisis numérico , la integración de salto es un método para integrar numéricamente ecuaciones diferenciales de la forma
- ,
o equivalentemente de la forma
- ,
particularmente en el caso de un sistema dinámico de mecánica clásica .
El método se conoce con diferentes nombres en diferentes disciplinas. En particular, es similar al método de Verlet de velocidad , que es una variante de la integración de Verlet . La integración de Leapfrog es equivalente a actualizar posiciones y velocidades en puntos de tiempo intercalados, escalonados de tal manera que " saltan " unos sobre otros.
La integración de Leapfrog es un método de segundo orden, en contraste con la integración de Euler , que es solo de primer orden, pero requiere el mismo número de evaluaciones de funciones por paso. A diferencia de la integración de Euler, es estable para el movimiento oscilatorio, siempre que el paso de tiempo es constante, y . [1]
Usando coeficientes de Yoshida, aplicando el integrador de salto varias veces con los pasos de tiempo correctos, se puede generar un integrador de orden mucho más alto.
Algoritmo
En la integración de salto, las ecuaciones para actualizar la posición y la velocidad son
dónde es la posición en el paso , es la velocidad, o primera derivada de , al paso , es la aceleración, o segunda derivada de , al paso , y es el tamaño de cada paso de tiempo. Estas ecuaciones también se pueden expresar en una forma que proporcione velocidad en pasos enteros: [2]
Sin embargo, incluso en esta forma sincronizada, el paso de tiempo debe ser constante para mantener la estabilidad. [3]
La forma sincronizada se puede reorganizar a la forma 'patada-deriva-patada';
que se utiliza principalmente cuando se requieren intervalos de tiempo variables. La separación del cálculo de la aceleración al principio y al final de un paso significa que si la resolución del tiempo se incrementa en un factor de dos (), entonces solo se requiere un cálculo de aceleración adicional (computacionalmente costoso).
Un uso de esta ecuación es en las simulaciones de gravedad, ya que en ese caso la aceleración depende solo de las posiciones de las masas gravitantes (y no de sus velocidades), aunque los integradores de orden superior (como los métodos de Runge-Kutta ) se utilizan con mayor frecuencia. .
Hay dos fortalezas principales para saltar la integración cuando se aplica a problemas mecánicos. El primero es la reversibilidad en el tiempo del método Leapfrog. Se pueden integrar n pasos hacia adelante , y luego invertir la dirección de integración e integrar n pasos hacia atrás para llegar a la misma posición inicial. La segunda fortaleza es su naturaleza simpléctica , lo que implica que conserva la energía (ligeramente modificada) de los sistemas dinámicos. Esto es especialmente útil cuando se calcula la dinámica orbital, ya que muchos otros esquemas de integración, como el método de Runge-Kutta (orden 4) , no conservan energía y permiten que el sistema se desvíe sustancialmente con el tiempo.
Debido a su reversibilidad en el tiempo y debido a que es un integrador simpléctico , la integración de salto también se usa en Hamiltonian Monte Carlo , un método para extraer muestras aleatorias de una distribución de probabilidad cuya normalización general se desconoce. [4]
Algoritmos de Yoshida
El integrador de salto se puede convertir en integradores de orden superior utilizando técnicas de Haruo Yoshida . En este enfoque, el salto se aplica en varios pasos de tiempo diferentes. Resulta que cuando se utilizan los pasos de tiempo correctos en secuencia, los errores se cancelan y se pueden producir fácilmente integradores de orden mucho más alto. [5] [6]
Integrador Yoshida de cuarto orden
Un paso bajo el integrador Yoshida de cuarto orden requiere cuatro pasos intermedios. La posición y la velocidad se calculan en diferentes momentos. Solo se requieren tres cálculos de aceleración (computacionalmente costosos).
Las ecuaciones para que el integrador de cuarto orden actualice la posición y la velocidad son
dónde son la posición y la velocidad de partida, son la posición intermedia y la velocidad en el paso intermedio , es la aceleración en la posición , y son la posición final y la velocidad bajo un paso Yoshida de cuarto orden.
Coeficientes y se derivan en [6] (ver la ecuación (4.6))
Todos los pasos intermedios forman uno paso que implica que los coeficientes suman uno: y . Tenga en cuenta que la posición y la velocidad se calculan en diferentes momentos y que algunos pasos intermedios están hacia atrás en el tiempo. Para ilustrar esto, damos los valores numéricos de coeficientes: , , ,
Ver también
Referencias
- ^ CK Birdsall y AB Langdon, Física del plasma a través de simulaciones por computadora , McGraw-Hill Book Company, 1985, p. 56.
- ^ 4.1 Dos formas de escribir el salto
- ^ Skeel, RD, "El tamaño de paso variable desestabiliza el método Stömer / Leapfrog / Verlet", BIT Numerical Mathematics , Vol. 33, 1993, pág. 172-175.
- ^ Obispo, Christopher (2006). Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático . Nueva York: Springer-Verlag . págs. 548–554. ISBN 978-0-387-31073-2.
- ^ http://www.artcompsci.org/kali/vol/two_body_problem_2/ch07.html#rdocsect46
- ^ a b Haruo Yoshida (Observatorio Astronómico Nacional, Mitaka, Tokio), Construcción de integradores simplécticos de orden superior, CARTAS DE FÍSICA A 12, Volumen 150, número 5, 6, 7, noviembre de 1990.
enlaces externos
- [1] , Física de la Universidad de Drexel