En matemáticas , un integrador simpléctico (SI) es un esquema de integración numérica para sistemas hamiltonianos . Los integradores simplécticos forman la subclase de integradores geométricos que, por definición, son transformaciones canónicas . Se utilizan ampliamente en dinámica no lineal , dinámica molecular , métodos de elementos discretos , física de aceleradores , física de plasma , física cuántica y mecánica celeste .
Introducción
Los integradores simplécticos están diseñados para la solución numérica de las ecuaciones de Hamilton , que se leen
dónde denota las coordenadas de posición, las coordenadas de impulso, y es el hamiltoniano. El conjunto de coordenadas de posición y momento.se llaman coordenadas canónicas . (Consulte Mecánica hamiltoniana para obtener más información).
La evolución temporal de las ecuaciones de Hamilton es un simplectomorfismo , lo que significa que conserva la forma simpléctica 2 . Un esquema numérico es un integrador simpléctico si también conserva esta forma 2.
Los integradores simplécticos poseen, como cantidad conservada, un hamiltoniano ligeramente perturbado del original. En virtud de estas ventajas, el esquema SI se ha aplicado ampliamente a los cálculos de la evolución a largo plazo de sistemas hamiltonianos caóticos que van desde el problema de Kepler hasta las simulaciones clásicas y semiclásicas en dinámica molecular .
La mayoría de los métodos numéricos habituales, como el esquema de Euler primitivo y el esquema clásico de Runge-Kutta , no son integradores simplécticos.
Métodos para construir algoritmos simplécticos
Métodos de división para hamiltonianos separables
Una clase ampliamente utilizada de integradores simplécticos está formada por los métodos de división.
Suponga que el hamiltoniano es separable, lo que significa que se puede escribir en la forma
Esto sucede con frecuencia en la mecánica hamiltoniana, siendo T la energía cinética y V la energía potencial .
Para simplificar la notación, introduzcamos el símbolo para denotar las coordenadas canónicas, incluidas las coordenadas de posición y momento. Entonces, el conjunto de ecuaciones de Hamilton dado en la introducción se puede expresar en una sola expresión como
dónde es un paréntesis de Poisson . Además, al presentar un operador, que devuelve un corchete de Poisson del operando con el hamiltoniano , la expresión de la ecuación de Hamilton se puede simplificar aún más a
La solución formal de este conjunto de ecuaciones se da como una matriz exponencial :
Tenga en cuenta la positividad de en la matriz exponencial.
Cuando el hamiltoniano tiene la forma de eq. (1), la solución (3) es equivalente a
El esquema SI se aproxima al operador de evolución temporal en la solución formal (4) por un producto de operadores como
dónde y son números reales, es un número entero, que se llama orden del integrador, y donde . Tenga en cuenta que cada uno de los operadores y proporciona un mapa simpléctico , por lo que su producto que aparece en el lado derecho de (5) también constituye un mapa simpléctico.
Desde para todos , podemos concluir que
Usando una serie de Taylor, se puede expresar como
dónde es un número real arbitrario. Combinando (6) y (7), y usando el mismo razonamiento para como lo hemos usado para , obtenemos
En términos concretos, da el mapeo
y da
Tenga en cuenta que ambos mapas son prácticamente computables.
Ejemplos de
La forma simplificada de las ecuaciones (en orden de ejecución) es:
Después de convertir a coordenadas lagrangianas:
Dónde es el vector de fuerza en , es el vector de aceleración en , y es la cantidad escalar de masa.
A continuación se proporcionan varios integradores simplécticos. Una forma ilustrativa de usarlos es considerar una partícula con posición y velocidad .
Para aplicar un intervalo de tiempo con valores a la partícula, realice los siguientes pasos:
Iterativamente:
- Actualizar la posición de la partícula añadiéndole su velocidad (previamente actualizada) multiplicado por
- Actualizar la velocidad de la partícula añadiéndole su aceleración (en la posición actualizada) multiplicada por
Un ejemplo de primer orden
El método simpléctico de Euler es el integrador de primer orden con y coeficientes
Tenga en cuenta que el algoritmo anterior no funciona si se necesita reversibilidad en el tiempo. El algoritmo debe implementarse en dos partes, una para los pasos de tiempo positivos y otra para los pasos de tiempo negativos.
Un ejemplo de segundo orden
El método Verlet es el integrador de segundo orden con y coeficientes
Desde , el algoritmo anterior es simétrico en el tiempo. Hay 3 pasos para el algoritmo, y los pasos 1 y 3 son exactamente iguales, por lo que la versión de tiempo positivo se puede usar para tiempo negativo.
Un ejemplo de tercer orden
Un integrador simpléctico de tercer orden (con ) fue descubierto por Ronald Ruth en 1983. [1] Una de las muchas soluciones está dada por
Un ejemplo de cuarto orden
Un integrador de cuarto orden (con ) también fue descubierto por Ruth en 1983 y distribuido de forma privada a la comunidad de aceleradores de partículas en ese momento. Esto fue descrito en un animado artículo de revisión por Forest. [2] Este integrador de cuarto orden fue publicado en 1990 por Forest y Ruth y también descubierto de forma independiente por otros dos grupos en esa misma época. [3] [4] [5]
Para determinar estos coeficientes, se puede utilizar la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . Yoshida, en particular, ofrece una elegante derivación de coeficientes para integradores de orden superior. Más tarde, Blanes y Moan [6] desarrollaron aún más métodos de Runge-Kutta divididos para la integración de sistemas con hamiltonianos separables con constantes de error muy pequeñas.
Métodos de división para hamiltonianos no separables en general
Los hamiltonianos generales no separables también pueden integrarse explícita y simplécticamente.
Para hacerlo, Tao introdujo una restricción que une dos copias del espacio de fase para permitir una división explícita de tales sistemas. [7] La idea es, en lugar de, uno simula , cuya solución concuerda con la de en el sentido de que .
El nuevo hamiltoniano es ventajoso para la integración simpléctica explícita, porque se puede dividir en la suma de tres sub-hamiltonianos, , , y . Se pueden obtener explícitamente soluciones exactas de los tres sub-hamiltonianos: ambos Las soluciones corresponden a cambios de posición y momento no coincidentes, y corresponde a una transformación lineal. Para simular simplécticamente el sistema, uno simplemente compone estos mapas de solución.
Aplicaciones
En física del plasma
En las últimas décadas, el integrador simpléctico en la física del plasma se ha convertido en un tema de investigación activo, [8] porque las aplicaciones sencillas de los métodos simplécticos estándar no satisfacen la necesidad de simulaciones de plasma a gran escala habilitadas por el hardware informático de escala peta a exa. Los algoritmos simplécticos especiales deben diseñarse habitualmente, aprovechando las estructuras especiales del problema de física que se investiga. Un ejemplo de ello es la dinámica de partículas cargadas en un campo electromagnético. Con la estructura simpléctica canónica, el hamiltoniano de la dinámica es
Una alternativa más elegante y versátil es mirar la siguiente estructura simpléctica no canónica del problema,
Ver también
- Deriva de energía
- Integrador multisimpléctico
- Integrador variacional
- Integración de Verlet
Referencias
- ^ Ruth, Ronald D. (agosto de 1983). "Una técnica de integración canónica" . Transacciones IEEE sobre ciencia nuclear . NS-30 (4): 2669–2671. Código bibliográfico : 1983ITNS ... 30.2669R . doi : 10.1109 / TNS.1983.4332919 .
- ^ Forest, Etienne (2006). "Integración geométrica para aceleradores de partículas". J. Phys. A: Matemáticas. Gen . 39 (19): 5321–5377. Código Bibliográfico : 2006JPhA ... 39.5321F . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 39/19 / S03 .
- ^ Forest, E .; Ruth, Ronald D. (1990). "Integración simpléctica de cuarto orden" (PDF) . Physica D . 43 : 105-117. Código Bibliográfico : 1990PhyD ... 43..105F . doi : 10.1016 / 0167-2789 (90) 90019-L .
- ^ Yoshida, H. (1990). "Construcción de integradores simplécticos de orden superior". Phys. Letón. Una . 150 (5–7): 262–268. Código Bibliográfico : 1990PhLA..150..262Y . doi : 10.1016 / 0375-9601 (90) 90092-3 .
- ^ Candy, J .; Rozmus, W. (1991). "Un algoritmo de integración simpléctica para funciones hamiltonianas separables". J. Comput. Phys . 92 (1): 230–256. Código Bibliográfico : 1991JCoPh..92..230C . doi : 10.1016 / 0021-9991 (91) 90299-Z .
- ^ Blanes, S .; Moan, PC (mayo de 2002). "Prácticos métodos simplécticos divididos Runge-Kutta y Runge-Kutta-Nyström" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 142 (2): 313–330. Código Bibliográfico : 2002JCoAM.142..313B . doi : 10.1016 / S0377-0427 (01) 00492-7 .
- ^ Tao, Molei (2016). "Aproximación simpléctica explícita de hamiltonianos no separables: algoritmo y rendimiento a largo plazo". Phys. Rev. E . 94 (4): 043303. arXiv : 1609.02212 . Código Bibliográfico : 2016PhRvE..94d3303T . doi : 10.1103 / PhysRevE.94.043303 . PMID 27841574 .
- ^ Qin, H .; Guan, X. (2008). "Un integrador simpléctico variacional para el movimiento del centro de guía de partículas cargadas para simulaciones de larga duración en campos magnéticos generales" (PDF) . Cartas de revisión física . 100 : 035006. doi : 10.1103 / PhysRevLett.100.035006 . PMID 18232993 .
- ^ Qin, H .; Liu, J .; Xiao, J. (2016). "Método simpléctico canónico de partículas en la celda para simulaciones a gran escala a largo plazo de las ecuaciones de Vlasov-Maxwell". Fusión nuclear . 56 (1): 014001. arXiv : 1503.08334 . Código bibliográfico : 2016NucFu..56a4001Q . doi : 10.1088 / 0029-5515 / 56/1/014001 .
- ^ Zhang, R .; Qin, H .; Tang, Y. (2016). "Algoritmos simplécticos explícitos basados en funciones de generación de dinámica de partículas cargadas". Revisión E física . 94 (1): 013205. arXiv : 1604.02787 . doi : 10.1103 / PhysRevE.94.013205 . PMID 27575228 .
- ^ Tao, M. (2016). "Integradores simplécticos explícitos de alto orden para partículas cargadas en campos electromagnéticos generales". Revista de Física Computacional . 327 : 245. arXiv : 1605.01458 . doi : 10.1016 / j.jcp.2016.09.047 .
- ^ Oye.; Qin, H .; Sol, Y. (2015). "Métodos de integración hamiltoniana para ecuaciones de Vlasov-Maxwell". Física de Plasmas . 22 : 124503. arXiv : 1505.06076 . doi : 10.1063 / 1.4938034 .
- ^ Xiao, J .; Qin, H .; Liu, J. (2015). "Algoritmos simplécticos de partícula en celda no canónicos explícitos de alto orden para sistemas Vlasov-Maxwell". Física de Plasmas . 22 (11): 112504. arXiv : 1510.06972 . Código Bibliográfico : 2015PhPl ... 22k2504X . doi : 10.1063 / 1.4935904 .
- ^ Kraus, M; Kormann, K; Morrison, P .; Sonnendrucker, E (2017). "GEMPIC: métodos geométricos de partículas electromagnéticas en celda". Revista de física del plasma . 83 (4): 905830401. arXiv : 1609.03053 . doi : 10.1017 / S002237781700040X .
- ^ Xiao, J .; Qin, H .; Liu, J. (2018). "Métodos de partículas geométricas en la celda de preservación de la estructura para sistemas Vlasov-Maxwell". Ciencia y tecnología del plasma . 20 (11): 110501. arXiv : 1804.08823 . doi : 10.1088 / 2058-6272 / aac3d1 .
- Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastián (2005). Simulación de la dinámica hamiltoniana . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-77290-7.
- Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006). Integración numérica geométrica: algoritmos de conservación de estructuras para ecuaciones diferenciales ordinarias (2 ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-30663-4.