Ajuste por mínimos cuadrados

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El ajuste por mínimos cuadrados es un modelo para la solución de un sistema de ecuaciones sobredeterminado basado en el principio de mínimos cuadrados de los residuos de observación . Se utiliza ampliamente en las disciplinas de topografía , geodesia y fotogrametría , el campo de la geomática , colectivamente.

Claramente, ajustes paramétricos y condicionales corresponden al caso combinado más general cuando f (X, Y) = h (X) -Y y f (X, Y) = g (Y) , respectivamente. Sin embargo, los casos especiales garantizan soluciones más simples, como se detalla a continuación. A menudo en la literatura, Y puede ser denotado L .

Las igualdades anteriores solo son válidas para los parámetros y observaciones estimados , por lo tanto . Por el contrario, las observaciones medidas y los parámetros aproximados producen un error de cierre distinto de cero :${\ Displaystyle {\ hat {X}}}$${\ Displaystyle {\ hat {Y}}}$${\ displaystyle f \ left ({\ hat {X}}, {\ hat {Y}} \ right) = 0}$${\ Displaystyle {\ tilde {Y}}}$${\ Displaystyle {\ tilde {X}}}$

Se puede proceder a la expansión en serie de Taylor de las ecuaciones, lo que da como resultado las matrices jacobianas o de diseño : la primera,

donde se estiman las correcciones de los parámetros a los valores a priori y son los residuos de observación posteriores al ajuste .${\displaystyle {\hat {x}}={\hat {X}}-{\tilde {X}}}$${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {Y}}-{\tilde {Y}}}$

En el ajuste paramétrico, la segunda matriz de diseño es una identidad, B = -I , y el vector de error de cierre se puede interpretar como los residuos de ajuste previo , por lo que el sistema se simplifica a:${\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {w}}=h({\tilde {X}})-{\tilde {Y}}}$

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