Teorema del punto fijo de Lefschetz

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En matemáticas , el teorema del punto fijo de Lefschetz es una fórmula que cuenta los puntos fijos de un mapeo continuo desde un espacio topológico compacto a sí mismo por medio de trazas de los mapeos inducidos en los grupos de homología de . Lleva el nombre de Solomon Lefschetz , quien lo declaró por primera vez en 1926. ${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización X}$

El conteo está sujeto a una multiplicidad imputada en un punto fijo llamado índice de punto fijo . Una versión débil del teorema es suficiente para mostrar que un mapeo sin ningún punto fijo debe tener propiedades topológicas bastante especiales (como la rotación de un círculo).

ser un mapa continuo de un espacio triangular compacto a sí mismo. Defina el número de Lefschetz de por${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {f}}$${\displaystyle f}$

la suma alterna (finita) de las trazas de la matriz de los mapas lineales inducidos por on , los grupos de homología singular de con coeficientes racionales .${\displaystyle f}$${\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle X}$

entonces tiene al menos un punto fijo, es decir, existe al menos uno en tal que . De hecho, dado que el número de Lefschetz se ha definido en el nivel de homología, la conclusión se puede extender para decir que cualquier mapa homotópico también tiene un punto fijo.${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle f}$

Sin embargo, tenga en cuenta que lo contrario no es cierto en general: puede ser cero incluso si tiene puntos fijos.${\displaystyle \Lambda _{f}}$${\displaystyle f}$

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