En matemáticas , el índice de punto fijo es un concepto de la teoría topológica del punto fijo y , en particular, de la teoría de Nielsen . El índice de punto fijo se puede considerar como una medida de multiplicidad para puntos fijos.
El índice se puede definir fácilmente en el marco del análisis complejo : sea f ( z ) una aplicación holomorfa en el plano complejo, y sea z 0 un punto fijo de f . Entonces la función f ( z ) − z es holomorfa y tiene un cero aislado en z 0 . Definimos el índice de punto fijo de f en z 0 , denotado i ( f , z 0 ), como la multiplicidad del cero de la función f ( z ) − z en el punto z 0 .
En el espacio euclidiano real, el índice de punto fijo se define como sigue: Si x 0 es un punto fijo aislado de f , entonces sea g la función definida por
Entonces g tiene una singularidad aislada en x 0 y mapea el límite de alguna vecindad eliminada de x 0 a la esfera unitaria. Definimos i ( f , x 0 ) como el grado de Brouwer del mapeo inducido por g en alguna pequeña esfera adecuadamente elegida alrededor de x 0 . [1]
La importancia del índice de punto fijo se debe en gran medida a su papel en el teorema de Lefschetz - Hopf , que establece:
Dado que la cantidad en el lado izquierdo de lo anterior es claramente cero cuando f no tiene puntos fijos, el teorema de Lefschetz-Hopf implica trivialmente el teorema del punto fijo de Lefschetz .