Operador de Leibniz
En la lógica algebraica abstracta , una rama de la lógica matemática , el operador de Leibniz es una herramienta que se utiliza para clasificar los sistemas deductivos , que tienen una definición técnica precisa y capturan una gran cantidad de lógicas. El operador de Leibniz fue introducido por Wim Blok y Don Pigozzi , dos de los fundadores del campo, como un medio para abstraer el conocido proceso Lindenbaum-Tarski , que conduce a la asociación de álgebras de Boole con el cálculo proposicional clásico , y hacerlo aplicable a una variedad tan amplia de lógicas oracionalescomo sea posible. Es un operador que asigna a una teoría dada de una lógica oracional dada, percibida como un término álgebra con una operación de consecuencia en su universo, la mayor congruencia en el álgebra que es compatible con la teoría.
En este artículo, presentamos el operador de Leibniz en el caso especial del cálculo proposicional clásico, luego lo abstraemos a la noción general aplicada a una lógica oracional arbitraria y, finalmente, resumimos algunas de las consecuencias más importantes de su uso en la teoría. de lógica algebraica abstracta.
denotar el cálculo proposicional clásico. De acuerdo con el proceso clásico de Lindenbaum-Tarski, dada una teoría de , si denota la relación binaria en el conjunto de fórmulas de , definida por
donde denota el conectivo de equivalencia proposicional clásico habitual, entonces resulta ser una congruencia en la fórmula del álgebra. Además, el cociente es un álgebra booleana y cada álgebra booleana puede formarse de esta manera.
Así, la variedad de álgebras booleanas, que es, en terminología lógica algebraica, la semántica algebraica equivalente (contraparte algebraica) del cálculo proposicional clásico, es la clase de todas las álgebras formadas tomando cocientes apropiados de álgebras de términos por esos tipos especiales de congruencias.
que define es equivalente a la condición
