En lógica matemática , la lógica algebraica abstracta es el estudio de la algebraización de sistemas deductivos que surgen como una abstracción del conocido álgebra de Lindenbaum-Tarski , y cómo las álgebras resultantes se relacionan con los sistemas lógicos. [1]
Historia
La asociación arquetípica de este tipo, fundamental para los orígenes históricos de la lógica algebraica y que se encuentra en el corazón de todas las subteorías desarrolladas posteriormente, es la asociación entre la clase de álgebras de Boole y el cálculo proposicional clásico . Esta asociación fue descubierta por George Boole en la década de 1850, y luego desarrollada y refinada por otros, especialmente CS Peirce y Ernst Schröder , desde la década de 1870 hasta la de 1890. Este trabajo culminó con las álgebras de Lindenbaum-Tarski , diseñadas por Alfred Tarski y su alumno Adolf Lindenbaum en la década de 1930. Más tarde, Tarski y sus estudiantes estadounidenses (cuyas filas incluyen a Don Pigozzi) descubrieron el álgebra cilíndrica , que algebraiza toda la lógica clásica de primer orden , y el álgebra de relaciones revivida , cuyos modelos incluyen todas las teorías axiomáticas de conjuntos conocidas .
La lógica algebraica clásica, que comprende todo el trabajo en lógica algebraica hasta aproximadamente 1960, estudió las propiedades de clases específicas de álgebras utilizadas para "algebraizar" sistemas lógicos específicos de interés particular para investigaciones lógicas específicas. Generalmente, se encontró que el álgebra asociada con un sistema lógico es un tipo de celosía , posiblemente enriquecida con una o más operaciones unarias distintas de la complementación de celosía .
La lógica algebraica abstracta es una subárea moderna de la lógica algebraica que surgió en Polonia durante las décadas de 1950 y 1960 con el trabajo de Helena Rasiowa , Roman Sikorski , Jerzy Łoś y Roman Suszko (por nombrar solo algunos). Alcanzó la madurez en la década de 1980 con las publicaciones seminales del lógico polaco Janusz Czelakowski , el lógico holandés Wim Blok y el lógico estadounidense Don Pigozzi . El enfoque de la lógica algebraica abstracta pasó del estudio de clases específicas de álgebras asociadas con sistemas lógicos específicos (el enfoque de la lógica algebraica clásica), al estudio de:
- Clases de álgebras asociadas con clases de sistemas lógicos cuyos miembros satisfacen todas ciertas propiedades lógicas abstractas;
- El proceso por el cual una clase de álgebras se convierte en la "contraparte algebraica" de un sistema lógico dado;
- La relación entre las propiedades metálicas satisfechas por una clase de sistemas lógicos y las propiedades algebraicas correspondientes satisfechas por sus contrapartes algebraicas.
El paso de la lógica algebraica clásica a la lógica algebraica abstracta puede compararse con el paso del álgebra "moderna" o abstracta (es decir, el estudio de grupos , anillos , módulos , campos , etc.) al álgebra universal (el estudio de clases de álgebras). de tipos de similitud arbitraria ( firmas algebraicas ) que satisfacen propiedades abstractas específicas).
Las dos motivaciones principales para el desarrollo de la lógica algebraica abstracta están estrechamente relacionadas con (1) y (3) anteriores. Con respecto a (1), el trabajo de Rasiowa inició un paso crítico en la transición. Su objetivo era abstraer resultados y métodos que se sabe que son válidos para el cálculo proposicional clásico y las álgebras booleanas y algunos otros sistemas lógicos estrechamente relacionados, de tal manera que estos resultados y métodos puedan aplicarse a una variedad mucho más amplia de lógicas proposicionales.
(3) debe mucho al trabajo conjunto de Blok y Pigozzi que exploran las diferentes formas que adquiere el conocido teorema de la deducción del cálculo proposicional clásico y la lógica de primer orden en una amplia variedad de sistemas lógicos. Relacionaron estas diversas formas del teorema de deducción con las propiedades de las contrapartes algebraicas de estos sistemas lógicos.
La lógica algebraica abstracta se ha convertido en un subcampo bien establecido de la lógica algebraica, con muchos resultados interesantes y profundos. Estos resultados explican muchas propiedades de diferentes clases de sistemas lógicos anteriormente explicadas solo caso por caso o envueltas en un misterio. Quizás el logro más importante de la lógica algebraica abstracta ha sido la clasificación de las lógicas proposicionales en una jerarquía , llamada jerarquía algebraica abstracta o jerarquía de Leibniz, cuyos diferentes niveles reflejan aproximadamente la fuerza de los vínculos entre una lógica en un nivel particular y su clase asociada. de álgebras. La posición de una lógica en esta jerarquía determina hasta qué punto esa lógica puede estudiarse utilizando métodos y técnicas algebraicas conocidas. Una vez asignada una lógica a un nivel de esta jerarquía, se puede recurrir al poderoso arsenal de resultados, acumulados durante los últimos 30 años y pico, que rigen las álgebras situadas en el mismo nivel de la jerarquía.
La terminología anterior puede ser engañosa. La 'lógica algebraica abstracta' se usa a menudo para indicar el enfoque de la escuela húngara, incluidos Hajnal Andréka , István Németi y otros. Lo que se denomina "Lógica algebraica abstracta" en los párrafos anteriores debería ser "Lógica algebraica". La algebraización de los sistemas Gentzen de Ramon Jansana, J. Font y otros es una mejora significativa sobre la "lógica algebraica".
Ejemplos de
Sistema lógico | Contraparte algebraica |
---|---|
Lógica proposicional | Álgebras booleanas |
Lógica proposicional intuicionista | Heyting álgebras |
Lógica modal proposicional | Álgebras booleanas con operadores Álgebra modal |
Lógica de primer orden | Álgebras cilíndricas Álgebra poliádica Lógica del functor de predicados |
Teoría de conjuntos | Lógica combinatoria Álgebra de relaciones Álgebra booleana |
Ver también
- Álgebra abstracta
- Lógica algebraica
- Teoría del modelo abstracto
- Jerarquía (matemáticas)
- Teoría de modelos
- Variedad (álgebra universal)
- Lógica universal
Notas
- ^ Fuente, 2003.
Referencias
- Blok, W., Pigozzi, D, 1989. Lógicas algebraizables . Memorias de la AMS, 77 (396). También disponible para descargar desde la página de inicio de Pigozzi
- Czelakowski, J., 2001. Protoalgebraic Logics . Kluwer. ISBN 0-7923-6940-8 . Considerada "una introducción excelente y muy legible al área de la lógica algebraica abstracta" por Mathematical Reviews
- Czelakowski, J. (editor), 2018, Don Pigozzi sobre lógica algebraica abstracta, álgebra universal e informática , contribuciones destacadas a la lógica, volumen 16, Springer International Publishing, ISBN 978-3-319-74772-9
- Font, JM, 2003. Una visión lógica algebraica abstracta de algunas lógicas de múltiples valores . En M. Fitting y E. Orlowska (eds.), Más allá de dos: teoría y aplicaciones de la lógica de valores múltiples , Springer-Verlag, págs. 25–57.
- Font, JM, Jansana, R., 1996. Una semántica algebraica general para lógica de oraciones . Notas de clase en Logic 7, Springer-Verlag. (2da edición publicada por ASL en 2009) También acceso abierto en Project Euclid
- --------, y Pigozzi, D., 2003, Un estudio de lógica algebraica abstracta , Studia Logica 74 : 13-79.
- Ryszard Wójcicki (1988). Teoría de los cálculos lógicos: teoría básica de las operaciones de consecuencia . Saltador. ISBN 978-90-277-2785-5.
- Andréka, H., Németi, I . : Lógica algebraica general: una perspectiva sobre "qué es la lógica" , en D. Gabbay (ed.): ¿Qué es un sistema lógico? , Clarendon Press, 1994, págs. 485–569.
- D. Pigozzi (2001). "Lógica algebraica abstracta". En M. Hazewinkel (ed.). Enciclopedia de Matemáticas: Suplemento Volumen III . Saltador. págs. 2-13. ISBN 1-4020-0198-3. en línea en "Lógica algebraica abstracta" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
enlaces externos
- Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Lógica proposicional algebraica ", por Ramon Jansana.