En el estudio matemático de las ecuaciones diferenciales parciales , el ejemplo de Lewy es un ejemplo célebre, debido a Hans Lewy , de una ecuación diferencial parcial lineal sin soluciones. Muestra que el análogo del teorema de Cauchy-Kovalevskaya no se sostiene en la categoría suave.
El ejemplo original no es explícito, ya que emplea el teorema de Hahn-Banach , pero desde entonces ha habido varios ejemplos explícitos de la misma naturaleza encontrados por Harold Jacobowitz .
El teorema de Malgrange-Ehrenpreis establece (aproximadamente) que las ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes constantes siempre tienen al menos una solución; El ejemplo de Lewy muestra que este resultado no puede extenderse a ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes polinomiales.
El ejemplo
La declaración es la siguiente
- En ℝ × ℂ, existe una función suave con valores complejos tal que la ecuación diferencial
- no admite solución en ningún conjunto abierto. Tenga en cuenta que si es analítico, entonces el teorema de Cauchy-Kovalevskaya implica que existe una solución.
Lewy construye esto usando el siguiente resultado:
- En ℝ × ℂ, suponga que es una función que satisface, en una vecindad del origen,
- para alguna función C 1 φ . Entonces φ debe ser analítica real en una vecindad (posiblemente más pequeña) del origen.
Esto puede interpretarse como un teorema de inexistencia tomando φ como una mera función suave. El ejemplo de Lewy toma esta última ecuación y, en cierto sentido, traduce su no solubilidad a todos los puntos de ℝ × ℂ. El método de prueba utiliza un argumento de categoría de Baire , por lo que, en cierto sentido preciso, casi todas las ecuaciones de esta forma son insolubles.
Mizohata (1962) descubrió más tarde que la ecuación aún más simple
dependiendo de 2 variables reales x e y en ocasiones no tiene soluciones. Este es casi el operador diferencial parcial más simple posible con coeficientes no constantes.
Importancia para los colectores CR
Un colector CR viene equipado con un complejo de cadenas de operadores diferenciales, formalmente similar al complejo Dolbeault en un colector complejo , llamado-complejo. El complejo Dolbeault admite una versión del lema de Poincaré . En el lenguaje de las gavillas , esto significa que el complejo Dolbeault es exacto. El ejemplo de Lewy, sin embargo, muestra que el-El complejo casi nunca es exacto.
Referencias
- Lewy, Hans (1957), "Un ejemplo de una ecuación diferencial parcial lineal suave sin solución", Annals of Mathematics , 66 (1): 155-158, doi : 10.2307 / 1970121 , JSTOR 1970121 , MR 0088629 , Zbl 0078.08104.
- Mizohata, Sigeru (1962), "Solutions nulles et solutions non analytiques" , Journal of Mathematics of Kyoto University (en francés), 1 (2): 271–302, MR 0142873 , Zbl 0106.29601.
- Rosay, Jean-Pierre (2001) [1994], "Operador de Lewy y operador de Mizohata" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press