Colector CR

En matemáticas , una variedad CR es una variedad diferenciable junto con una estructura geométrica modelada en la de una hipersuperficie real en un espacio vectorial complejo , o más generalmente modelada en el borde de una cuña .

Formalmente, un colector CR es una variedad diferenciable M junto con una distribución complejo preferido L , o en otras palabras un complejo subfibrado de la complejizado tangente haz de tal manera que${\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

• ${\displaystyle [L,L]\subseteq L}$( L es formalmente integrable )
• ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$.

El subfibrado L se denomina estructura de CR en el colector de M .

La abreviatura CR significa Cauchy-Riemann o Complex-Real .

Introducción y motivación

La noción de una estructura CR intenta describir intrínsecamente la propiedad de ser una hipersuperficie (o ciertas subvariedades reales de codimensión superior) en un espacio complejo mediante el estudio de las propiedades de los campos vectoriales holomórficos que son tangentes a la hipersuperficie.

Suponga, por ejemplo, que M es la hipersuperficie de dada por la ecuación${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle F(z,w):=|z|^{2}+|w|^{2}=1,}$

donde z y w son las coordenadas complejas habituales en . El paquete tangente holomórfico de consta de todas las combinaciones lineales de los vectores${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}},\quad {\frac {\partial }{\partial w}}.}$

La distribución de L en M consta de todas las combinaciones de estos vectores que son tangentes a M . Los vectores tangentes deben aniquilar la ecuación definitoria de M , por lo que L consta de múltiplos escalares complejos de

${\displaystyle {\bar {w}}{\frac {\partial }{\partial z}}-{\bar {z}}{\frac {\partial }{\partial w}}.}$

En particular, L se compone de los campos de vectores holomórficas que aniquilan F . Tenga en cuenta que L da una estructura CR en M , para [ L , L ] = 0 (ya que L es unidimensional) y dado que ∂ / ∂ z y ∂ / ∂ w son linealmente independientes de sus conjugados complejos.${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$

De manera más general, suponga que M es una hipersuperficie real con la definición de la ecuación F ( z ₁ , ..., z _n ) = 0. Entonces la estructura CR L consiste en esas combinaciones lineales de los vectores holomórficos básicos en :${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}}$

que aniquilan la función definitoria. En este caso, por el mismo motivo que antes. Por otra parte, [ L , L ] ⊂ L desde el conmutador de campos vectoriales holomórficas aniquilando F es de nuevo un campo vectorial holomorphic aniquilar F .${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$

Variedades CR integradas y abstractas

Existe un fuerte contraste entre las teorías de las variedades CR incrustadas (hipersuperficie y bordes de las cuñas en el espacio complejo) y las variedades CR abstractas (las dadas por la distribución compleja L ). Muchas de las características geométricas formales son similares. Éstas incluyen:

• Una noción de convexidad (proporcionada por la forma Levi )
• Un operador diferencial , análogo al operador de Dolbeault , y una cohomología asociada (el complejo tangencial de Cauchy-Riemann ).

Sin embargo, las variedades CR incrustadas poseen alguna estructura adicional: un problema de Neumann y Dirichlet para las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Este artículo primero trata la geometría de las variedades CR incrustadas, muestra cómo definir estas estructuras intrínsecamente y luego las generaliza al entorno abstracto.

Colectores CR integrados

Preliminares

Las variedades CR incrustadas son, ante todo, subvariedades de Defina un par de subconjuntos del paquete tangente complexificado mediante:${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes T\mathbb {C} ^{n}}$

• ${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}}$Consiste en los vectores complejos que aniquilan las funciones antiholomorfas . En las coordenadas holomorfas :

${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right).}$

• ${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}}$Consiste en los vectores complejos que aniquilan las funciones holomorfas . En coordenadas:

${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}\right).}$

También son relevantes los aniquiladores característicos del complejo Dolbeault :

• ${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$ En coordenadas,

${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (dz_{1},\dots ,dz_{n}).}$

• ${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$ En coordenadas,

${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{n}).}$

Los productos exteriores de estos se denotan mediante la notación evidente Ω ^{( p , q )} , y el operador Dolbeault y su mapa conjugado complejo entre estos espacios a través de:

${\displaystyle \partial :\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p+1,q)}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p,q+1)}}$

Además, hay una descomposición de la derivada exterior habitual vía .${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

Subvariedades reales del espacio complejo

Sea una subvariedad real, definida localmente como el lugar geométrico de un sistema de funciones uniformes de valor real${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots ,F_{k}=0.}$

Supongamos que la parte lineal compleja del diferencial de este sistema tiene rango máximo, en el sentido de que los diferenciales satisfacen la siguiente condición de independencia :

${\displaystyle \partial F_{1}\wedge \dots \wedge \partial F_{k}\not =0.}$

Tenga en cuenta que esta condición es estrictamente más fuerte de lo necesario para aplicar el teorema de la función implícita : en particular, M es una variedad de dimensión real . Decimos que M es una subvariedad CR incorporada genérica de la codimensión k de CR . El adjetivo genérico indica que el espacio tangente abarca el espacio tangente de números complejos. En la mayoría de las aplicaciones, k  = 1, en cuyo caso se dice que la variedad es de tipo hipersuperficie .${\displaystyle 2n-k.}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Sea el subconjunto de vectores que aniquilan todas las funciones definitorias. Observe que, según las consideraciones habituales para distribuciones integrables en hipersuperficies, L es involutivo. Además, la condición de independencia implica que L es un paquete de rango constante n  -  k .${\displaystyle L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}|_{M}}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}.}$

De ahora en adelante, suponga que k  = 1 (de modo que la variedad CR es de tipo hipersuperficie), a menos que se indique lo contrario.

La forma de Levi

Sea M una variedad CR de tipo hipersuperficie con una única función definitoria F = 0. La forma Levi de M , llamada así por Eugenio Elia Levi , ^[1] es la forma 2 hermitiana

${\displaystyle h=i\,\partial {\bar {\partial }}F|_{L\wedge {\bar {L}}}.}$

Esto determina una métrica de L . Se dice que M es estrictamente pseudoconvexo (desde el lado F <0 ) si h es positivo definido (o pseudoconvexo en caso de que h sea ​​positivo semidefinito). Muchos de los resultados analíticos de existencia y unicidad en la teoría de las variedades CR dependen de la pseudoconvexidad.

Esta nomenclatura proviene del estudio de dominios pseudoconvexos : M es el límite de un dominio (estrictamente) pseudoconvexo en si y solo si es (estrictamente) pseudoconvexo como una variedad CR del lado del dominio. (Ver funciones plurisubarmónicas y variedad de Stein ).${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Estructuras de CR abstractas e incrustación de estructuras de CR abstractas en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$

Una estructura CR abstracta en una variedad real M de dimensión real n consiste en un subconjunto complejo L del paquete tangente complexificado que es formalmente integrable, en el sentido de que [ L , L ] ⊂ L , que tiene intersección cero con su conjugado complejo. La codimensión CR de la estructura CR es donde dim  L es la dimensión compleja. En el caso de k  = 1, se dice que la estructura CR es de tipo hipersuperficie . La mayoría de los ejemplos de estructuras CR abstractas son de tipo hipersuperficie.${\displaystyle k=n-2\dim L,}$

La forma de Levi y la pseudoconvexidad

Suponga que M es una variedad CR de tipo hipersuperficie. La forma de Levi es la forma de 2 valores vectoriales , definida en L , con valores en el paquete de líneas

${\displaystyle V={\frac {TM\otimes \mathbb {C} }{L\oplus {\overline {L}}}}}$

dada por

${\displaystyle h(v,w)={\frac {1}{2i}}[v,{\overline {w}}]\mod L\oplus {\overline {L}},\quad v,w\in L.}$

h define un sesquilinear forma en L , ya que no depende de la forma en v y w se extienden a las secciones de L , por la condición de integrabilidad. Esta forma se extiende a una forma hermitiana en el paquete con la misma expresión. La forma extendida también se conoce a veces como la forma Levi.${\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}$

La forma de Levi se puede caracterizar alternativamente en términos de dualidad. Considere el subconjunto de línea del paquete cotangente complejo que aniquila a V

${\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathbb {C} .}$

Para cada sección local α ∈ Γ ( H ₀ M ), sea

${\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\overline {w}})=-\alpha ([v,{\overline {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}}.}$

La forma h _α es una forma hermitiana de valores complejos asociada a α.

Las generalizaciones de la forma de Levi existen cuando la variedad no es de tipo hipersuperficie, en cuyo caso la forma ya no asume valores en un paquete de líneas, sino más bien en un paquete de vectores. Entonces se puede hablar, no de una forma de Levi, sino de una colección de formas de Levi para la estructura.

En variedades CR abstractas, de tipo fuertemente pseudo-convexo, la forma de Levi da lugar a una métrica pseudo-hermitiana. La métrica solo se define para los vectores tangentes holomórficos y, por lo tanto, está degenerada. A continuación, se puede definir una conexión y torsión y tensores de curvatura relacionados, por ejemplo, la curvatura de Ricci y la curvatura escalar utilizando esta métrica. Esto da lugar a un problema CR Yamabe análogo estudiado por primera vez por David Jerison y John Lee . La conexión asociada a las variedades CR fue definida y estudiada por primera vez por Sidney M. Webster en su tesis sobre el estudio del problema de equivalencia y también definida y estudiada independientemente por Tanaka. ^{[2] Las} descripciones de estas nociones se pueden encontrar en los artículos. ^[3][4]

Una de las preguntas básicas de la Geometría CR es preguntarse cuándo una variedad suave dotada de una estructura CR abstracta se puede realizar como una variedad incrustada en algunos . Por lo tanto, no solo estamos incrustando la variedad, sino que también exigimos la incrustación global en la que el mapa que incrusta la variedad abstracta debe retirar la estructura CR inducida de la variedad incrustada (que proviene del hecho de que se asienta ) para que el retroceso La estructura CR coincide exactamente con la estructura CR abstracta. Por tanto, la incrustación global es una condición de dos partes. Aquí la pregunta se divide en dos. Se puede solicitar la integración local o la integración global.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

La incrustabilidad global es siempre cierta para estructuras CR compactas definidas de forma abstracta que son fuertemente pseudoconvexas, es decir, la forma Levi es definida positiva, cuando la dimensión real de la variedad es 5 o superior por un resultado de Louis Boutet de Monvel . ^[5]

En la dimensión 3, hay obstáculos para la integración global. Al hacer pequeñas perturbaciones de la estructura CR estándar en las tres esferas, la estructura CR abstracta resultante que se obtiene no se integra globalmente. A esto a veces se le llama el ejemplo de Rossi. ^[6] El ejemplo, de hecho, se remonta a Hans Grauert y también aparece en un artículo de Aldo Andreotti y Yum-Tong Siu . ^[7]${\displaystyle S^{3},}$

Un resultado de Joseph J. Kohn afirma que la integrabilidad global es equivalente a la condición de que los Kohn Laplacianos tengan un rango cerrado. ^[8] Esta condición de rango cerrado no es una condición invariante de CR.

En la dimensión 3, Sagun Chanillo , Hung-Lin Chiu y Paul C. Yang ^[9] han encontrado un conjunto no perturbativo de condiciones que son CR invariantes que garantiza la incrustabilidad global para estructuras CR abstractas fuertemente pseudoconvexas definidas en variedades compactas. . Bajo la hipótesis de que el operador CR Paneitz no es negativo y la constante CR Yamabe es positiva, se tiene incrustación global. La segunda condición se puede debilitar a una condición invariante no CR exigiendo que la curvatura de Webster de la variedad abstracta esté delimitada por debajo por una constante positiva. Permite a los autores obtener un límite inferior agudo en el primer valor propio positivo del laplaciano de Kohn. El límite inferior es el análogo en CR Geometry de André Lichnerowiczcon destino al primer valor propio positivo del operador de Laplace-Beltrami para variedades compactas en geometría riemanniana . ^{[10] La} no negatividad del operador CR Paneitz en la dimensión 3 es una condición invariante CR como sigue las propiedades covariantes conforme del operador CR Paneitz en variedades CR de dimensión real 3, observadas por primera vez por Kengo Hirachi . ^[11] La versión CR del operador Paneitz, el llamado Operador CR Paneitz aparece por primera vez en una obra de C. Robin Graham y John Lee.. No se sabe que el operador sea conforme covariante en la dimensión real 5 y superior, sino solo en la dimensión real 3. Siempre es un operador no negativo en la dimensión real 5 y superior. ^[12]

Uno puede preguntarse si todos los colectores CR integrados de forma compacta tienen operadores Paneitz no negativos. Esta es una especie de pregunta inversa a los teoremas de incrustación discutidos anteriormente. En esta dirección Jeffrey Case, Sagun Chanillo y Paul C. Yang han demostrado un teorema de estabilidad. Es decir, si uno comienza con una familia de variedades CR compactas incrustadas y la estructura CR de la familia cambia de una manera real-analítica con respecto al parámetro y la constante CR de Yamabe de la familia de variedades está delimitada uniformemente por debajo de una constante positiva, entonces el operador CR Paneitz permanece no negativo para toda la familia, siempre que un miembro de la familia tenga su operador CR Paneitz no negativo. ^[13]${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2},}$${\displaystyle J_{t}}$${\displaystyle t,}$La pregunta inversa finalmente fue resuelta por Yuya Takeuchi. Demostró que para los colectores CR-3 compactos y embebidos que son estrictamente pseudoconvexos, el operador CR Paneitz asociado a este colector embebido no es negativo. ^[14]

También hay resultados de incrustación global para pequeñas perturbaciones de la estructura CR estándar para la esfera tridimensional debido a Daniel Burns y Charles Epstein . Estos resultados plantean hipótesis sobre los coeficientes de Fourier del término de perturbación. ^[15]

La realización de la variedad CR abstracta como una variedad suave en algunos unirá una variedad compleja que, en general, puede tener singularidades. Este es el contenido del problema Complex Plateau estudiado en el artículo de F. Reese Harvey y H. Blaine Lawson . ^[16] También hay más trabajos sobre el problema de la meseta compleja de Stephen S.-T. Yau . ^[17]${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

La incrustación local de estructuras CR abstractas no es cierta en la dimensión real 3, debido a un ejemplo de Louis Nirenberg (el libro de Chen y Mei-Chi Shaw mencionado a continuación también incluye una presentación de la prueba de Nirenberg). ^[18] El ejemplo de L. Nirenberg puede verse como una suave perturbación del campo vectorial complejo no resoluble de Hans Lewy . Uno puede comenzar con el campo vectorial anti-holomórfico en el grupo de Heisenberg dado por${\displaystyle {\overline {L}}}$

${\displaystyle {\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,\imath ={\sqrt {-1}}.}$

El campo vectorial definido anteriormente tiene dos primeras integrales linealmente independientes. Es decir, hay dos soluciones para la ecuación homogénea,

${\displaystyle {\overline {L}}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath |z|^{2},dZ_{1}\wedge dZ_{2}\not =0.}$

Dado que estamos en la dimensión real tres, la condición de integrabilidad formal es simplemente,

${\displaystyle \left[{\overline {L}},{\overline {L}}\right]=0}$

que es automático. Observe que la forma de Levi es estrictamente definida positiva como da un simple cálculo,

${\displaystyle \left[{\overline {L}},L\right]=2i{\frac {\partial }{\partial t}},}$

donde el campo vectorial holomórfico L está dado por,

${\displaystyle L={\frac {\partial }{\partial z}}+\imath {\overline {z}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

Las primeras integrales que son linealmente independientes nos permiten realizar la estructura CR como un gráfico dado por${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle (z,t)\to (z,t+\imath |z|^{2})}$

La estructura CR se ve entonces como nada más que la restricción de la estructura compleja del gráfico. Nirenberg construye un único campo vectorial complejo que no desaparece definido en una vecindad del origen en He y luego muestra que si , entonces tiene que ser una constante. Por tanto, el campo vectorial no tiene primeras integrales. El campo vectorial se crea a partir del campo vectorial anti-holomórfico para el grupo de Heisenberg que se muestra arriba al perturbarlo mediante una función suave con valores complejos como se muestra a continuación:${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} .}$${\displaystyle Pu=0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle P={\overline {L}}+\phi (z,{\overline {z}},t){\frac {\partial }{\partial t}}}$

Por lo tanto, este nuevo campo vectorial P, no tiene primeras integrales que no sean constantes y, por lo tanto, no es posible realizar esta estructura CR perturbada de ninguna manera como un gráfico en cualquier El trabajo de L. Nirenberg ha sido extendido a un resultado genérico por Howard Jacobowitz y François Trèves . ^[19] En la dimensión real 9 y superior, la incrustación local de estructuras CR abstractas estrictamente pseudoconvexas es verdadera por el trabajo de Masatake Kuranishi y en la dimensión real 7 por el trabajo de Akahori ^[20] Una presentación simplificada de la demostración de Kuranishi se debe a Webster. ^[21]${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

El problema de la inserción local permanece abierto en la dimensión real 5.

Ideales característicos

El complejo tangencial de Cauchy-Riemann (Kohn Laplacian, Kohn-Rossi complex)

En primer lugar, es necesario definir un operador co-límite . Para las variedades CR que surgen como límites de variedades complejas, se puede ver este operador como la restricción del interior al límite. El subíndice b es para recordarle a uno que estamos en el límite. El operador co-límite toma formas (0, p) a formas (0, p + 1). Incluso se puede definir el operador co-límite para una variedad CR abstracta incluso si no es el límite de una variedad compleja. Esto se puede hacer usando la conexión Webster. ^[22] El operador co-límite forma un complejo, es decir . Este complejo se denomina complejo tangencial de Cauchy-Riemann o complejo de Kohn-Rossi. Investigación de este complejo y estudio de los grupos de Cohomología${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$${\displaystyle {\overline {\partial }}}$${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}\circ {\overline {\partial _{b}}}=0}$de este complejo fue realizado en un artículo fundamental por Joseph J. Kohn y Hugo Rossi. ^[23]

Asociado al complejo Tangencial CR es un objeto fundamental en Geometría CR y Varias Variables Complejas, el Kohn Laplaciano. Se define como:

${\displaystyle \Box _{b}={\overline {\partial _{b}}}{\overline {\partial _{b}}}^{\star }+{\overline {\partial _{b}}}^{\star }{\overline {\partial _{b}}}}$

Aquí denota el adjunto formal de con respecto a donde la forma de volumen puede derivarse de una forma de contacto que está asociada a la estructura CR. Véase, por ejemplo, el artículo de JM Lee en el American J. al que se hace referencia a continuación. Tenga en cuenta que el Kohn Laplaciano toma formas (0, p) a formas (0, p). Las funciones que son aniquiladas por el Kohn Laplacian se denominan funciones CR . Son los análogos de los límites de las funciones holomórficas . Las partes reales de las funciones CR se denominan funciones pluriarmónicas CR . El Kohn Laplaciano${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$${\displaystyle L^{2}(M)}$${\displaystyle \Box _{b}}$es un operador formalmente autoadjunto no negativo. Es degenerado y tiene un conjunto característico donde su símbolo se desvanece. En una variedad CR abstracta compacta, fuertemente pseudoconvexa, tiene valores propios positivos discretos que van al infinito y también se acercan a cero. El kernel consta de las funciones CR y, por lo tanto, es de dimensión infinita. Si los valores propios positivos del Kohn Laplacian están delimitados por debajo por una constante positiva, entonces el Kohn Laplacian tiene un rango cerrado y viceversa. Por lo tanto, para las estructuras CR incrustadas utilizando el resultado de Kohn mencionado anteriormente, concluimos que la estructura CR compacta que es fuertemente pseudoconvexa está incrustada si y solo si el Kohn Laplaciano tiene valores propios positivos que están delimitados por debajo por una constante positiva. El Kohn Laplaciano siempre tiene el valor propio cero correspondiente a las funciones CR.

Se han obtenido estimaciones de y en varios espacios funcionales en diversos entornos. Estas estimaciones son más fáciles de derivar cuando la variedad es fuertemente pseudoconvexa, porque entonces se puede reemplazar la variedad osculándola a un orden suficientemente alto con el grupo de Heisenberg. Luego, utilizando la propiedad de grupo y la estructura de convolución concomitante del grupo de Heisenberg, se pueden escribir inversas / parametrices o parámetros relativos a . ^[24]${\displaystyle \Box _{b}}$${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$${\displaystyle \Box _{b}}$

Se puede proporcionar un ejemplo concreto del operador en el grupo Heisenberg. Considere el grupo general de Heisenberg y considere los campos vectoriales antiholomórficos que también son invariantes a la izquierda del grupo,${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n,(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} .}$

Entonces para una función u tenemos la forma (0,1) ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\overline {\partial _{b}}}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L_{j}}}u\ d{\overline {z_{j}}}.}$

Dado que desaparece en funciones, también tenemos la siguiente fórmula para el Kohn Laplacian para funciones en el grupo de Heisenberg:${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$

${\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L_{j}}}}$

donde

${\displaystyle L_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+\imath {\overline {z_{j}}}{\frac {\partial }{\partial t}},}$

son los campos vectoriales holomórficos, invariantes a la izquierda del grupo en el grupo de Heisenberg. La expresión para el Kohn Laplacian anterior se puede reescribir de la siguiente manera. Primero se comprueba fácilmente que

${\displaystyle [L_{j},{\overline {L_{j}}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n}$

Así tenemos por un cálculo elemental:

${\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})+\imath nT}$

El primer operador a la derecha es un operador real y, de hecho, es la parte real del Kohn Laplacian. Se llama sublaplaciano . Es un ejemplo principal de lo que se denomina operador de sumas de cuadrados de Hörmander . ^{[25] [26]} Obviamente, no es negativo, como puede verse a través de una integración por partes. Algunos autores definen al sublaplaciano con un signo opuesto. En nuestro caso tenemos específicamente:

${\displaystyle \Delta _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})}$

donde el símbolo es el símbolo tradicional del sublaplaciano. Por lo tanto${\displaystyle \Delta _{b}}$

${\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT}$

Ejemplos de

El ejemplo canónico de una variedad CR compacta es la esfera real como una subvariedad de . El paquete descrito anteriormente está dado por${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\mathbb {C} TS^{2n+1}\cap T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}$

donde es el conjunto de vectores holomorfos. La forma real de esto está dada por , el paquete dado en un punto concretamente en términos de la estructura compleja , en por${\displaystyle T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle P=\Re (L\oplus {\bar {L}})}$${\displaystyle p\in S^{2n+1}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$

${\displaystyle P_{p}=\{X\in T_{p}S^{2n+1}:IX\in T_{p}S^{2n+1}\subset T_{p}\mathbb {C} ^{n+1}\},}$

y la estructura casi compleja de es solo la restricción de . La esfera es un ejemplo de una variedad CR con una curvatura Webster positiva constante y una torsión Webster cero. El grupo Heisenberg es un ejemplo de un colector CR no compacto con torsión Webster cero y curvatura Webster cero. El conjunto de círculos unitarios sobre superficies compactas de Riemann con un género estrictamente mayor que 1 también proporciona ejemplos de variedades CR que son fuertemente pseudoconvexas y tienen una torsión Webster cero y una curvatura Webster negativa constante. Estos espacios se pueden utilizar como espacios de comparación al estudiar geodésicas y teoremas de comparación de volumen en variedades CR con torsión de Webster cero similar al teorema de comparación HE Rauch en Geometría Riemanniana. ^[27]${\displaystyle P}$${\displaystyle I}$

En los últimos años también se han estudiado otros aspectos de análisis sobre el grupo de Heisenberg, como superficies mínimas en el grupo de Heisenberg, el problema de Bernstein en el grupo de Heisenberg y los flujos de curvatura. ^[28]

Ver también

• Eugenio Elia Levi
• Pseudoconvexidad

Notas

1. Ver ( Levi 909 , p. 207): la forma de Levi es la forma diferencial asociada al operador diferencial C , según la notación de Levi. harv error: no target: CITEREFLevi909 (help)
2. Tanaka, N. (1975). "Un estudio geométrico diferencial en colectores fuertemente pseudoconvexos". Conferencias de Matemáticas, Universidad de Kyoto . Tokio: Librería Kinokuniya. 9 .
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Referencias

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