Límites Lieb-Robinson

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El límite de Lieb-Robinson es un límite superior teórico de la velocidad a la que la información puede propagarse en sistemas cuánticos no relativistas . Demuestra que la información no puede viajar instantáneamente en la teoría cuántica, incluso cuando se ignoran los límites de la relatividad de la velocidad de la luz . La existencia de una velocidad tan finita fue descubierta matemáticamente por Elliott Lieb y Derek William Robinson en 1972. ^[1]Convierte las propiedades de localidad de los sistemas físicos en la existencia de un límite superior para esta velocidad. El límite ahora se conoce como límite de Lieb-Robinson y la velocidad se conoce como velocidad de Lieb-Robinson. Esta velocidad es siempre finita pero no universal, dependiendo de los detalles del sistema considerado. Para interacciones de rango finito, por ejemplo, vecino más cercano, esta velocidad es una constante independiente de la distancia recorrida. En los sistemas de interacción de largo alcance, esta velocidad sigue siendo finita, pero puede aumentar con la distancia recorrida. ^{[2] [3]}

En el estudio de sistemas cuánticos como la óptica cuántica , la teoría de la información cuántica , la física atómica y la física de la materia condensada , es importante saber que existe una velocidad finita con la que la información puede propagarse. La teoría de la relatividad muestra que ninguna información, o cualquier otra cosa, puede viajar más rápido que la velocidad de la luz. Sin embargo, cuando se considera la mecánica no relativista ( las ecuaciones de movimiento de Newton o la ecuación de Schrödingerde la mecánica cuántica) se pensaba que entonces no había limitación a la velocidad de propagación de la información. Esto no es así para ciertos tipos de sistemas cuánticos de átomos dispuestos en una red, a menudo llamados sistemas de espín cuántico. Esto es importante desde el punto de vista conceptual y práctico, porque significa que, durante cortos períodos de tiempo, las partes distantes de un sistema actúan de forma independiente.

Una de las aplicaciones prácticas de los límites de Lieb-Robinson es la computación cuántica . Las propuestas actuales para construir computadoras cuánticas construidas a partir de unidades de tipo atómico se basan principalmente en la existencia de esta velocidad finita de propagación para protegerse contra la dispersión demasiado rápida de información. ^{[4] [3]}

Los artículos de revisión se pueden encontrar en las siguientes referencias, por ejemplo, ^{[5] [6] [7]}

Se puede encontrar una introducción rigurosa y moderna en. ^[8]

Configurar

Para definir el límite, es necesario describir primero hechos básicos sobre los sistemas de mecánica cuántica compuestos por varias unidades, cada una con un espacio de Hilbert de dimensión finita .

Los límites de Lieb-Robinson se consideran en un retículo -dimensional ( o ) , como el retículo cuadrado .${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu =1,2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ^{\nu }}$

Un espacio de estados de Hilbert está asociado con cada punto . La dimensión de este espacio es finita, pero se generalizó en 2008 para incluir dimensiones infinitas (ver más abajo). Esto se llama sistema de espín cuántico .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$${\displaystyle x\in \Gamma }$

Para cada subconjunto finito de la red, el espacio de Hilbert asociado viene dado por el producto tensorial${\displaystyle X\subset \Gamma }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}=\bigotimes _{x\in X}{\mathcal {H}}_{x}}$.

Un observable apoyado en (es decir, depende solo de) un conjunto finito es un operador lineal en el espacio de Hilbert .${\displaystyle A}$${\displaystyle X\subset \Gamma }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{X}}$

Cuando es de dimensión finita, elija una base finita de operadores que abarquen el conjunto de operadores lineales en . Entonces, cualquier observable en se puede escribir como una suma de operadores de base en .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$

El hamiltoniano del sistema se describe mediante una interacción . La interacción es una función de los conjuntos finitos a los observables autoadjuntos admitidos en . Se supone que la interacción es de rango finito (lo que significa que si el tamaño de excede un cierto tamaño prescrito) y la traducción es invariante . Estos requisitos se eliminaron más tarde. ^{[2] [9]}${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\displaystyle X\subset \Gamma }$${\displaystyle \Phi (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi (X)=0}$${\displaystyle X}$

Aunque generalmente se asume la invariancia de traducción, no es necesario hacerlo. Es suficiente asumir que la interacción está limitada por encima y por debajo de su dominio. Por tanto, el límite es bastante robusto en el sentido de que tolera los cambios del hamiltoniano. Sin embargo, un rango finito es esencial. Una interacción se dice que es de rango finito si hay un número finito de tal manera que para cualquier conjunto con un diámetro mayor que la interacción es cero, es decir, . Nuevamente, este requisito se eliminó más tarde. ^{[2] [9]}${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \Phi (X)=0}$

El hamiltoniano del sistema con interacción se define formalmente por:${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H_{\Phi }=\sum _{X\subset \Gamma }\Phi (X)}$.

Las leyes de la mecánica cuántica dicen que correspondiente a cada cantidad físicamente observable existe un operador autoadjunto . Para cada observable con un soporte finito, el hamiltoniano define un grupo continuo de un parámetro de transformaciones de los observables dados por${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \tau _{t}}$${\displaystyle \tau _{t}}$

${\displaystyle A(t)=e^{itH_{\Phi }}Ae^{-itH_{\Phi }}.}$

Aquí, tiene un significado físico de tiempo. (Técnicamente hablando, esta evolución en el tiempo se define por una expansión de series de potencia que se sabe que es una serie convergente de normas , ver, ^[10] Teorema 7.6.2, que es una adaptación de. ^[11] Se pueden obtener detalles más rigurosos. encontrado en. ^[1] )${\displaystyle t}$${\displaystyle A(t)=A+it[H,A]+{\frac {(it)^{2}}{2!}}[H,[H,A]]+\cdots }$

El límite en cuestión se demostró en ^[1] y es el siguiente: Para cualquier observable y con soportes finitos y , respectivamente, y para cualquier tiempo, lo siguiente es válido para algunas constantes positivas y :${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X\subset \Gamma }$${\displaystyle Y\subset \Gamma }$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a,c}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \|\,[A(t),B]\,\|\leq c\,\exp\{-a(d(X,Y)-v|t|)\},}$

( 1 )

donde denota la distancia entre los conjuntos y . El operador se llama conmutador de los operadores y , mientras que el símbolo denota la norma , o tamaño, de un operador . Es muy importante tener en cuenta que el límite no tiene nada que ver con el estado del sistema cuántico, sino que depende solo del Hamiltoninan que gobierna la dinámica. Una vez que se establece este límite de operador, necesariamente se traslada a cualquier estado del sistema.${\displaystyle d(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \|O\|}$${\displaystyle O}$

Una constante positiva depende de las normas de los observables y , los tamaños de los soportes y , la interacción, la estructura de celosía y la dimensión del espacio de Hilbert . Una constante positiva depende únicamente de la interacción y de la estructura reticular. El número se puede elegir a voluntad siempre que se elija lo suficientemente grande. En otras palabras, cuanto más se aleja uno en el cono de luz , más aguda es la tasa de caída exponencial. (En trabajos posteriores, los autores tendían a considerarla como una constante fija). La constante se llama velocidad de grupo o velocidad de Lieb-Robinson .${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle d(X,Y)/v|t|}$${\displaystyle d(X,Y)-v|t|}$${\displaystyle a}$${\displaystyle v}$

El límite ( 1 ) se presenta de manera ligeramente diferente a la ecuación en el artículo original que deriva tasas de desintegración dependientes de la velocidad a lo largo de los rayos del espacio-tiempo con una velocidad mayor que . ^[1] Esta forma más explícita ( 1 ) puede verse en la prueba del encuadernado ^[1]${\displaystyle v_{LR}}$

La cota de Lieb-Robinson muestra que para los tiempos la norma del lado derecho es exponencialmente pequeña. Este es el error exponencialmente pequeño mencionado anteriormente.${\displaystyle |t|<d(X,Y)/v}$

La razón para considerar el conmutador en el lado izquierdo de los límites Lieb-Robinson es la siguiente:

El conmutador entre observables y es cero si sus soportes son inconexos.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Lo contrario también es cierto: si observable es tal que su conmutador con cualquier observable soportado fuera de algún conjunto es cero, entonces tiene un soporte dentro del conjunto .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

Esta afirmación también es aproximadamente cierta en el siguiente sentido: ^[12] supongamos que existe algo tal que para algún observable y cualquier observable que se apoye fuera del conjunto . Entonces existe un observable con soporte dentro del conjunto que se aproxima a un observable , es decir .${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \|[A,B]\|\leq \epsilon \|B\|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A(\epsilon )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|A-A(\epsilon )\|\leq \epsilon }$

Por lo tanto, los límites Lieb-Robinson dicen que la evolución temporal de un observable con el apoyo de un conjunto es compatible (hasta errores exponencialmente pequeños) en un -neighborhood del conjunto , donde con ser la velocidad Lieb-Robinson. Fuera de este conjunto no hay influencia de . En otras palabras, estos límites afirman que la velocidad de propagación de las perturbaciones en los sistemas de espín cuántico está limitada.${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta <v|t|}$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$

Mejoras de los límites Lieb-Robinson

En ^[13] Robinson generalizó el límite ( 1 ) considerando interacciones que decaen exponencialmente (que no necesitan ser invariantes en la traducción), es decir, para las cuales la fuerza de la interacción decae exponencialmente con el diámetro del conjunto. Este resultado se analiza en detalle en, ^[14] Capítulo 6. No se mostró gran interés en los límites de Lieb-Robinson hasta 2004 cuando Hastings ^{[15] los} aplicó al teorema de Lieb-Schultz-Mattis . Posteriormente, Nachtergaele y Sims ^[16] ampliaron los resultados de ^[13] para incluir modelos en vértices con una métrica y derivar la desintegración exponencial de las correlaciones.. De 2005 a 2006, el interés en los límites de Lieb-Robinson se fortaleció con aplicaciones adicionales al deterioro exponencial de las correlaciones (ver ^{[2] [9] [17]} y las secciones siguientes). Se desarrollaron nuevas pruebas de los límites y, en particular, se mejoró la constante en ( 1 ) haciéndola independiente de la dimensión del espacio de Hilbert.

Se realizaron varias mejoras adicionales de la constante en ( 1 ). ^[18] En 2008, el límite de Lieb-Robinson se extendió al caso en el que cada uno es de dimensión infinita. ^[19] En ^[19] se demostró que las perturbaciones ilimitadas in situ no cambian el límite de Lieb-Robinson. Es decir, los hamiltonianos de la siguiente forma se pueden considerar en un subconjunto finito :${\displaystyle c}$${\displaystyle H_{x}}$${\displaystyle \Lambda \subset \Gamma }$

${\displaystyle H_{\Lambda }=\sum _{x\in \Lambda }H_{x}+\sum _{X\subset \Lambda }\Phi (X),}$

donde es un operador autoadjunto sobre , que no necesita estar delimitado.${\displaystyle H_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$

Hamiltonianos armónicos y anarmónicos

Los límites de Lieb-Robinson se extendieron a ciertos sistemas cuánticos continuos, es decir a un hamiltoniano armónico general, ^[19] que, en un volumen finito , donde hay números enteros positivos, toma la forma:${\displaystyle \Gamma _{L}=(-L,L)^{d}\cap \mathbb {Z} ^{d},}$${\displaystyle L,d}$

${\displaystyle \sum _{x\in \Gamma _{L}}p_{x}^{2}+\omega ^{2}q_{x}^{2}+\sum _{x\in \Gamma _{L}}\sum _{j=1}^{\nu }\lambda _{j}(q_{x}-q_{x+e_{j}})^{2},}$

donde las condiciones de contorno periódicas se imponen y , . Aquí hay vectores de base canónica en formato .${\displaystyle \lambda _{j}\geq 0}$${\displaystyle \omega >0}$${\displaystyle \{e_{j}\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

Se consideraron hamiltonianos anarmónicos con perturbaciones en el sitio y en múltiples sitios y se derivaron los límites de Lieb-Robinson para ellos, ^{[19] [20]} Se discutieron más generalizaciones de la celosía armónica, ^{[21] [22]}

Dinámica irreversible

Se hizo otra generalización de los límites de Lieb-Robinson a la dinámica irreversible, en cuyo caso la dinámica tiene una parte hamiltoniana y también una parte disipativa. La parte disipativa se describe mediante términos de la forma de Lindblad, de modo que la dinámica satisface la ecuación maestra de Lindblad-Kossakowski .${\displaystyle \tau _{t}}$

Los límites de Lieb-Robinson para la dinámica irreversible fueron considerados por ^[17] en el contexto clásico y por ^[23] para una clase de sistemas de celosía cuántica con interacciones de rango finito. Los límites de Lieb-Robinson para modelos de celosía con una dinámica generada por interacciones tanto hamiltonianas como disipativas con un decaimiento adecuadamente rápido en el espacio, y que puede depender del tiempo, fueron demostrados por, ^[24] donde también demostraron la existencia de la dinámica infinita como un Cociclo fuertemente continuo de la unidad conservando mapas completamente positivos.

Interacciones de ley de potencia

Los límites de Lieb-Robinson también se generalizaron a interacciones que decaen como una ley de potencia, es decir, la fuerza de la interacción está delimitada por arriba por donde es el diámetro del conjunto y es una constante positiva. ^{[2] [25] [26] [3]} Comprender si la localidad persiste para las interacciones de la ley de potencias tiene serias implicaciones para sistemas como iones atrapados, átomos de Rydberg, átomos ultrafríos y moléculas.${\displaystyle 1/r^{\alpha },}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha }$

En contraste con los sistemas de interacción de rango finito donde la información solo puede viajar a una velocidad constante, las interacciones de la ley de potencia permiten que la información viaje a una velocidad que aumenta con la distancia. ^[27] Por lo tanto, los límites de Lieb-Robinson para las interacciones de ley de potencias típicamente producen un cono de luz sublineal que es asintóticamente lineal en el límite. Un análisis reciente ^{[ ¿cuándo? ] el} uso de un algoritmo de simulación cuántica implicaba un cono de luz , donde está la dimensión del sistema. ^[3] Apretar el cono de luz para las interacciones de la ley de potencias sigue siendo un área de investigación activa.${\displaystyle \alpha \rightarrow \infty .}$${\displaystyle t\gtrsim r^{(\alpha -2D)(\alpha -D)}}$${\displaystyle D}$

Algunas aplicaciones

Los límites de Lieb-Robinson se utilizan en muchas áreas de la física matemática. Entre las principales aplicaciones del límite se encuentran los límites de error en los algoritmos de simulación cuántica, la existencia del límite termodinámico, el decaimiento exponencial de las correlaciones y el teorema de Lieb-Schultz-Mattis.

Algoritmos de simulación cuántica digital

El objetivo de la simulación cuántica digital es simular la dinámica de un sistema cuántico utilizando la menor cantidad de puertas cuánticas elementales. Para un sistema de interacción del vecino más cercano con partículas, simular su dinámica por el tiempo utilizando la fórmula del producto de Lie requiere puertas cuánticas. En 2018, Haah et al. ^[4] propuso un algoritmo cuántico casi óptimo que usa solo puertas cuánticas. La idea es aproximar la dinámica del sistema mediante la dinámica de sus subsistemas, algunos de ellos separados espacialmente. El error de la aproximación está limitado por el límite de Lieb-Robinson original. Más tarde, el algoritmo se generaliza a las interacciones de ley de potencia y posteriormente se utiliza para derivar un límite de Lieb-Robinson más fuerte. ^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle O(n^{2}t^{2})}$${\displaystyle O(nt\log(nt))}$

Límite termodinámico de la dinámica

Una de las propiedades importantes de cualquier modelo destinado a describir las propiedades de la materia a granel es la existencia del límite termodinámico. Esto dice que las propiedades intrínsecas del sistema deberían ser esencialmente independientes del tamaño del sistema que, en cualquier configuración experimental, es finito.

El límite termodinámico estático desde el punto de vista del equilibrio se estableció mucho antes de que se probara el límite de Lieb-Robinson, ver ^[10] por ejemplo. En ciertos casos se puede utilizar un Lieb-Robinson obligado a establecer la existencia de un límite termodinámico de la dinámica , por un enrejado infinito como el límite de la dinámica finitos celosía. El límite generalmente se considera sobre una secuencia creciente de subconjuntos finitos , es decir, de manera que para , hay una inclusión . Para probar la existencia de la dinámica infinita como un grupo de automorfismos de un parámetro fuertemente continuo, se demostró que${\displaystyle \tau _{t}^{\Gamma }}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Lambda _{n}\subset \Gamma }$${\displaystyle n<m}$${\displaystyle \Lambda _{n}\subset \Lambda _{m}}$${\displaystyle \tau _{t}^{\Gamma }}$${\displaystyle \{\tau _{t}^{\Lambda _{n}}\}_{n}}$es una secuencia de Cauchy y consecuentemente es convergente. Por consideraciones elementales, se sigue entonces la existencia del límite termodinámico. Se puede encontrar una discusión más detallada del límite termodinámico en ^[28] sección 6.2.

Robinson fue el primero en mostrar la existencia del límite termodinámico para interacciones que decaen exponencialmente. ^[13] Más tarde, Nachtergaele et al. ^{[9] [20] [24]} mostró la existencia de la dinámica de volumen infinito para casi todos los tipos de interacción descritos en la sección "Mejoras de los límites de Lieb-Robinson" más arriba.

Decadencia exponencial de correlaciones

Vamos a denotar el valor esperado de la observable en un estado . La función de correlación entre dos observables y se define como${\displaystyle \langle A\rangle _{\Omega }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \langle AB\rangle _{\Omega }-\langle A\rangle _{\Omega }\langle B\rangle _{\Omega }.}$

Los límites de Lieb-Robinson se utilizan para mostrar que las correlaciones decaen exponencialmente en la distancia para un sistema con una brecha de energía por encima de un estado fundamental no degenerado , ver. ^{[2] [16]} En otras palabras, la desigualdad${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle |\langle AB\rangle _{\Omega }-\langle A\rangle _{\Omega }\langle B\rangle _{\Omega }|\leq K\|A\|\|B\|\min(|X|,|Y|)\ e^{-a\,d(X,Y)},}$

se mantiene para observables y con soporte en los conjuntos y respectivamente. Aquí y hay algunas constantes.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a}$

Alternativamente, el estado puede tomarse como un estado de producto, en cuyo caso las correlaciones decaen exponencialmente sin asumir la brecha de energía por encima del estado fundamental. ^[9]${\displaystyle \Omega }$

Tal decadencia se conocía desde hace mucho tiempo para la dinámica relativista, pero solo se adivinaba para la dinámica newtoniana. Los límites de Lieb-Robinson logran reemplazar la simetría relativista por estimaciones locales en el hamiltoniano.

Teorema de Lieb-Schultz-Mattis

El teorema de Lieb-Schultz-Mattis implica que el estado fundamental del antiferromagnet de Heisenberg en una red bipartita con subredes isomorfas no es degenerado, es decir, único, pero la brecha puede ser muy pequeña. ^[29]

Para sistemas unidimensionales y cuasi unidimensionales de longitud uniforme y con espín semintegral, Affleck y Lieb, ^[30] generalizando el resultado original de Lieb, Schultz y Mattis, ^[31] demostró que la brecha en el espectro anterior el estado fundamental está delimitado por encima de${\displaystyle \gamma _{L}}$

${\displaystyle \gamma _{L}\leq c/L,}$

donde es el tamaño de la celosía y es una constante. Se hicieron muchos intentos para extender este resultado a dimensiones superiores , ,${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d>1}$

Hastings ^[15] y Nachtergaele-Sims ^[32] utilizaron la cota de Lieb-Robinson en una prueba del teorema de Lieb-Schultz-Mattis para casos de dimensiones superiores. Se obtuvo el siguiente límite en el espacio:

${\displaystyle \gamma _{L}\leq c\log(L)/L.}$.

Discretización del continuo mediante reglas de cuadratura de Gauss

En 2015, se demostró que el límite de Lieb-Robinson también puede tener aplicaciones fuera del contexto de los hamiltonianos locales, como explicamos ahora. El modelo Spin-Boson describe la dinámica de un espín acoplado a un continuo de osciladores. Se ha estudiado con gran detalle y explica los efectos disipativos cuánticos en una amplia gama de sistemas cuánticos. Vamos a denotar el hamiltoniano del modelo Spin-Boson con un baño bosónico continuo, y denotar el modelo de segregación de Higgs, que es el baño se ha discretizado para incluir osciladores armónicos con frecuencias elegidas de acuerdo a Gauss de cuadratura . Para todos los observables en el spin hamiltoniano, el error en el valor esperado de${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{L}}$${\displaystyle L\in \mathbb {N} ^{+}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$inducida por la discretización del modelo Spin-Boson de acuerdo con el esquema de discretización anterior está delimitada por ^[33]

${\displaystyle |{\text{tr}}[e^{itH}Ae^{-itH}]-{\text{tr}}[e^{itH_{L}}Ae^{-itH_{L}}]|\leq c\,e^{-a(L-v|t|)},}$

()

donde son constantes positivas y es la velocidad de Lieb-Robinson que en este caso es directamente proporcional a la frecuencia máxima del baño en el modelo Spin-Boson. Aquí, el número de modos discretos juega el papel de una distancia mencionada debajo de la Ec. ( 1 ). También se puede limitar el error inducido por el truncamiento local del espacio de Fock de los osciladores armónicos ^[34]${\displaystyle c,a}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \omega _{max}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d(X,Y)}$

Experimentos

La primera observación experimental de la velocidad de Lieb-Robinson fue realizada por Cheneau et al. ^[35]

Referencias

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