En relatividad especial , las coordenadas del cono de luz es un sistema de coordenadas especial donde dos de las coordenadas, x + y x - son coordenadas nulas y todas las demás coordenadas son espaciales. Llámalos
.
Suponga que estamos trabajando con una firma Lorentziana (d, 1).
En lugar del sistema de coordenadas estándar (usando la notación de Einstein )
,
con
tenemos
![ds^2=-2dx^+dx^- + \delta_{ij}dx^i dx^j](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
,
y
.
Tanto x + como x - pueden actuar como coordenadas de "tiempo".
Una cosa buena acerca de las coordenadas del cono de luz es que la estructura causal está parcialmente incluida en el propio sistema de coordenadas.
Un impulso en el plano tx se muestra como
,
,
. Una rotación en el plano ij solo afecta
. Las transformaciones parabólicas se muestran como
,
,
. Otro conjunto de transformaciones parabólicas se muestra como
,
y
.
Las coordenadas del cono de luz también se pueden generalizar al espacio-tiempo curvo en relatividad general. A veces, los cálculos se simplifican utilizando coordenadas de cono de luz. Véase el formalismo de Newman-Penrose . Las coordenadas del cono de luz se utilizan a veces para describir colisiones relativistas, especialmente si la velocidad relativa está muy cerca de la velocidad de la luz. También se utilizan en el calibre de cono de luz de la teoría de cuerdas.
Una cuerda cerrada es una generalización de una partícula. La coordenada espacial de un punto en la cuerda se describe convenientemente mediante un parámetro
que va desde
a
. El tiempo se describe adecuadamente mediante un parámetro
. Asociar cada punto de la cuerda en un espacio-tiempo de dimensión D con coordenadas
y coordenadas transversales
, estas coordenadas juegan el papel de campos en un
teoría del campo dimensional. Claramente, para tal teoría se requiere más. Es conveniente emplear en lugar de
y
coordenadas del cono de luz
dada por
![{\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(x_{0}\pm x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para que la métrica
es dado por
![{\displaystyle ds^{2}=2dx_{+}dx_{-}-(dx_{i})^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(resumen sobre
entendido). Hay cierta libertad de calibre. Primero, podemos configurar
y trate este grado de libertad como la variable de tiempo. Una invariancia de reparametrización bajo
se puede imponer con una restricción
que obtenemos de la métrica, es decir
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\frac {dx_{-}}{d\sigma }}-{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto
ya no es un grado de libertad independiente. Ahora
puede identificarse como el cargo Noether correspondiente . Considerar
. Luego, con el uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange para
y
Se obtiene
![{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}{\bigg (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}\delta x_{i}+\delta x_{-}{\bigg )}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Equiparando esto a
![{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}(Q\delta \sigma ),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es la carga de Noether, obtenemos:
![{\displaystyle Q={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}=-{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}={\mathcal {L}}_{0}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este resultado concuerda con un resultado citado en la literatura. [1]