condición de lindeberg

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En la teoría de la probabilidad , la condición de Lindeberg es una condición suficiente (y bajo ciertas condiciones también una condición necesaria) para que el teorema del límite central (CLT) se cumpla para una secuencia de variables aleatorias independientes . ^{[1] [2] [3]} A diferencia de la CLT clásica, que requiere que las variables aleatorias en cuestión tengan una varianza finita y sean independientes y estén distribuidas de forma idéntica , la CLT de Lindeberg solo requiere que tengan una varianza finita, satisfagan la condición de Lindeberg y sean independientes . . Lleva el nombre del matemático finlandésJarl Waldemar Lindeberg . ^[4]

Sea un espacio de probabilidad y sean variables aleatorias independientes definidas en ese espacio. Suponga que los valores esperados y las varianzas existen y son finitos. también deja${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},\mathbb {P})}$${\displaystyle X_{k}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,\,k\en \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=\mu _{k}}$${\displaystyle \mathrm {Var} \,[X_{k}]=\sigma _{k}^{2}}$${\displaystyle s_{n}^{2}:=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{2}.}$

Si esta secuencia de variables aleatorias independientes satisface la condición de Lindeberg :${\displaystyle X_{k}}$

para todos , donde 1 _{…} es la función indicadora , entonces se cumple el teorema del límite central , es decir, las variables aleatorias${\displaystyle \varepsilon >0}$

convergen en distribución a una variable aleatoria normal estándar como${\displaystyle n\to \infty .}$

La condición de Lindeberg es suficiente, pero no necesaria en general (es decir, la implicación inversa no se cumple en general). Sin embargo, si la secuencia de variables aleatorias independientes en cuestión satisface

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