Necesidad y suficiencia

En lógica y matemáticas , necesidad y suficiencia son términos usados para describir una relación condicional o implicacional entre dos enunciados . Por ejemplo, en el enunciado condicional: "Si P entonces Q ", Q es necesario para P, porque la verdad de P garantiza la verdad de Q (de manera equivalente, es imposible tener P sin Q ). ^[1]^[2] Del mismo modo, P es suficientepara Q, porque P siendo verdadero siempre implica que Q es verdadero, pero que P no sea verdadero no siempre implica que Q no sea verdadero. ^[3]

En general, una condición necesaria es aquella que debe estar presente para que ocurra otra condición, mientras que una condición suficiente es aquella que produce dicha condición. ^[4] La afirmación de que un enunciado es una condición "necesaria y suficiente" de otro significa que el primer enunciado es verdadero si y sólo si el segundo es verdadero. ^[5] Es decir, las dos declaraciones deben ser simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas. ^[6]^[7]^[8]

En inglés corriente , "necesario" y "suficiente" indican relaciones entre condiciones o estados de cosas, no declaraciones. Por ejemplo, ser hombre es una condición necesaria para ser hermano, pero no es suficiente, mientras que ser hermano es una condición necesaria y suficiente para ser hermano.

Definiciones [ editar ]

En el enunciado condicional, "si S , entonces N ", la expresión representada por S se llama antecedente y la expresión representada por N se llama consecuente . Esta declaración condicional se puede escribir de varias formas equivalentes, como " N si S ", " S sólo si N ", " S implica N ", " N está implicado por S ", $S \to N$ , $S \Rightarrow N$ y "N siempre que S". ^[9]

En la situación anterior, N se dice que es una necesaria condición para S . En lenguaje común, esto equivale a decir que si el enunciado condicional es verdadero, entonces el consecuente N debe ser verdadero, si S debe ser verdadero (vea la tercera columna de la " tabla de verdad " inmediatamente a continuación). En otras palabras, el antecedente S no puede ser verdadero sin que N lo sea. Por ejemplo, en orden para que alguien sea llamado S ocrates, es necesario para que alguien sea N amed. Del mismo modo, para que los seres humanos vivan, es necesario que tengan aire. ^[10]

En la situación anterior, también se puede decir que S es una condición suficiente para N (refiérase nuevamente a la tercera columna de la tabla de verdad inmediatamente debajo). Si el enunciado condicional es verdadero, entonces si S es verdadero, N debe ser verdadero; mientras que si el enunciado condicional es verdadero y N es verdadero, entonces S puede ser verdadero o falso. En términos comunes, "la verdad de S garantiza la verdad de N ". ^[10] Por ejemplo, en la realización del ejemplo anterior, se puede decir que el conocimiento de que alguien se llama S ocrates es suficiente saber que alguien tiene un N AME.

Una condición necesaria y suficiente requiere que se cumplan tanto las implicaciones como (la última de las cuales también se puede escribir como ). La primera implicación sugiere que S es una condición suficiente para N , mientras que la segunda implicación sugiere que S es una condición necesaria para N . Esto se expresa como " S es necesario y suficiente para N ", " S si y solo si N ", o . ^[5] ${\ Displaystyle S \ Rightarrow N}$ ${\ Displaystyle N \ Rightarrow S}$ ${\ Displaystyle S \ Leftarrow N}$ ${\ Displaystyle S \ Leftrightarrow N}$

Mesa de la verdad
$S$	$norte$	${\ Displaystyle S \ Rightarrow N}$	${\ Displaystyle S \ Leftarrow N}$	${\ Displaystyle S \ Leftrightarrow N}$
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Necesidad [ editar ]

El sol sobre el horizonte es una condición necesaria para la luz solar directa; pero no es una condición suficiente, ya que otra cosa puede estar proyectando una sombra, por ejemplo, la luna en el caso de un eclipse .

La afirmación de que Q es necesaria para P es coloquialmente equivalente a " P no puede ser verdadero a menos que Q sea verdadero" o "si Q es falso, entonces P es falso". ^[10]^[2] Por contraposición , esto es lo mismo que "siempre que P es verdadera, también lo es Q ".

La relación lógica entre P y Q se expresa como "si P , entonces Q " y se denota " P ⇒ Q " ( P implica Q ). También puede expresarse como cualquiera de " P sólo si Q ", " Q , si P ", " Q siempre que P " y " Q cuando P ". A menudo se encuentran, en la prosa matemática, por ejemplo, varias condiciones necesarias que, tomadas en conjunto, constituyen una condición suficiente (es decir, individualmente necesarias y conjuntamente suficientes ^[10]), como se muestra en el Ejemplo 5.

Ejemplo 1

Para que sea cierto que "John es soltero", es necesario que también sea cierto que es

soltero,
masculino,
adulto,

ya que afirmar "John es un soltero" implica que John tiene cada uno de esos tres predicados adicionales .

Ejemplo 2: Para los números enteros mayores que dos, ser impar es necesario para ser primo, ya que dos es el único número entero que es a la vez par y primo.

Ejemplo 3: Considere el trueno, el sonido causado por un rayo. Se dice que el trueno es necesario para el relámpago, ya que un rayo nunca ocurre sin un trueno. Siempre que hay un rayo, hay un trueno. El trueno no causa el relámpago (ya que el relámpago causa el trueno), pero como el relámpago siempre viene con el trueno, decimos que el trueno es necesario para el relámpago. (Es decir, en su sentido formal, la necesidad no implica causalidad).

Ejemplo 4: Tener al menos 30 años es necesario para servir en el Senado de los Estados Unidos. Si tienes menos de 30 años, entonces es imposible que seas senador. Es decir, si eres senador, se deduce que debes tener al menos 30 años.

Ejemplo 5: En álgebra , para que algún conjunto S junto con una operación forme un grupo , es necesario que sea asociativo . También es necesario que S incluya un elemento especial e tal que para cada x en S , se dé el caso de que e x y x e sean ambos iguales a x . También es necesario que para cada x en S exista un elemento correspondiente x ″ , tal que tanto x x ″ como x ″ ${\ Displaystyle \ star}$ ${\ Displaystyle \ star}$ ${\ Displaystyle \ star}$ ${\ Displaystyle \ star}$ ${\ Displaystyle \ star}$ ${\ Displaystyle \ star}$ x es igual al elemento especial e . Ninguna de estas tres condiciones necesarias por sí sola es suficiente, pero la conjunción de las tres sí lo es.

Suficiencia [ editar ]

Que un tren funcione según el horario puede ser una condición suficiente para llegar a tiempo (si uno aborda el tren y sale a tiempo, entonces llegará a tiempo); pero no siempre es una condición necesaria, ya que existen otras formas de viajar (si el tren no corre a tiempo, aún se podría llegar a tiempo a través de otros medios de transporte).

Si P es suficiente para Q , entonces saber que P es verdadero es base suficiente para concluir que Q es verdadero; sin embargo, saber que P es falso no satisface la necesidad mínima de concluir que Q es falso.

La relación lógica se expresa, como antes, como "si P , entonces Q " o " P ⇒ Q ". Esto también se puede expresar como " P sólo si Q ", " P implica Q " o varias otras variantes. Puede darse el caso de que varias condiciones suficientes, tomadas en conjunto, constituyan una sola condición necesaria (es decir, individualmente suficiente y conjuntamente necesaria), como se ilustra en el ejemplo 5.

Ejemplo 1: "Juan es un rey" implica que Juan es varón. Entonces, saber que Juan es un rey es suficiente para saber que es un hombre.

Ejemplo 2: El hecho de que un número sea divisible por 4 es suficiente (pero no necesario) para que sea par, pero ser divisible por 2 es suficiente y necesario.

Ejemplo 3: La ocurrencia de un trueno es una condición suficiente para la ocurrencia de un relámpago en el sentido de que escuchar un trueno y reconocerlo sin ambigüedades como tal, justifica concluir que ha habido un rayo.

Ejemplo 4: Si el Congreso de los Estados Unidos aprueba un proyecto de ley, la firma del proyecto por parte del presidente es suficiente para convertirlo en ley. Tenga en cuenta que el caso en el que el presidente no firmó el proyecto de ley, por ejemplo, mediante el ejercicio de un veto presidencial , no significa que el proyecto de ley no se haya convertido en una ley (por ejemplo, aún podría haberse convertido en una ley mediante una anulación del Congreso ).

Ejemplo 5: Que el centro de una carta de juego esté marcado con una sola pala grande (♠) es suficiente para que la carta sea un as. Otras tres condiciones suficientes son que el centro de la carta esté marcado con un solo diamante (♦), corazón (♥) o trébol (♣). Ninguna de estas condiciones es necesaria para que la carta sea un as, pero su disyunción lo es, ya que ninguna carta puede ser un as sin cumplir al menos (de hecho, exactamente) una de estas condiciones.

Relación entre necesidad y suficiencia [ editar ]

Estar en la región púrpura es suficiente para estar en A, pero no es necesario. Estar en A es necesario para estar en la región púrpura, pero no suficiente. Estar en A y estar en B es necesario y suficiente para estar en la región púrpura.

Una condición puede ser necesaria o suficiente sin ser la otra. Por ejemplo, ser mamífero ( N ) es necesario pero no suficiente para ser humano ( S ), y que un número sea racional ( S ) es suficiente pero no necesario para ser un número real ( N ) (ya que hay números reales que no son racionales). ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x}$

Una condición puede ser necesaria y suficiente. Por ejemplo, en la actualidad, "hoy es el 4 de julio " es una condición necesaria y suficiente para "hoy es el Día de la Independencia en los Estados Unidos ". De manera similar, una condición necesaria y suficiente para la invertibilidad de una matriz M es que M tenga un determinante distinto de cero .

Matemáticamente hablando, la necesidad y la suficiencia son duales . Para cualquier afirmación S y N , la afirmación de que " N es necesario para S " es equivalente a la afirmación de que " S es suficiente para N ". Otra faceta de esta dualidad es que, como se ilustró anteriormente, las conjunciones (usando "y") de las condiciones necesarias pueden lograr la suficiencia, mientras que las disyunciones (usando "o") de las condiciones suficientes pueden lograr la necesidad. Para una tercera faceta, identifique cada predicado matemático N con el conjunto T ( N ) de objetos, eventos o enunciados para los cuales Nse mantiene cierto; entonces afirmar la necesidad de N para S es equivalente a afirmar que T ( N ) es un superconjunto de T ( S ), mientras que afirmar la suficiencia de S para N es equivalente a afirmar que T ( S ) es un subconjunto de T ( N ).

Necesidad y suficiencia simultáneas [ editar ]

Decir que P es necesario y suficiente para Q es decir dos cosas:

que P es necesaria para Q , y que P es suficiente para Q , . ${\ Displaystyle P \ Leftarrow Q}$ ${\ Displaystyle P \ Rightarrow Q}$
de manera equivalente, se puede entender que P y Q son necesarios para el otro , lo que también se puede afirmar porque cada uno es suficiente o implica al otro. ${\ Displaystyle P \ Rightarrow Q \ land Q \ Rightarrow P}$

Uno puede resumir cualquiera, y por lo tanto todos, de estos casos mediante el enunciado " P si y sólo si Q ", que se denota por , mientras que los casos nos dicen que es idéntico a . ${\ Displaystyle P \ Leftrightarrow Q}$ ${\ Displaystyle P \ Leftrightarrow Q}$ ${\ Displaystyle P \ Rightarrow Q \ land Q \ Rightarrow P}$

Por ejemplo, en teoría de grafos un grafo G se llama bipartito si es posible asignar a cada uno de sus vértices el color negro o blanco de tal manera que cada borde de G tenga un punto final de cada color. Y para que cualquier gráfico sea bipartito, es condición necesaria y suficiente que no contenga ciclos de longitud impar . Por lo tanto, descubrir si una gráfica tiene ciclos impares le dice a uno si es bipartita y viceversa. Un filósofo ^[11] podría caracterizar este estado de cosas así: "Aunque los conceptos de bipartididad y ausencia de ciclos impares difieren en la intensión , tienen idénticaextensión . ^[12]

En matemáticas, los teoremas a menudo se expresan en la forma " P es verdadero si y solo si Q es verdadero". Sus pruebas normalmente prueban primero la suficiencia, por ejemplo . En segundo lugar, se demuestra lo contrario, ${\ Displaystyle P \ Rightarrow Q}$ ${\ Displaystyle Q \ Rightarrow P}$

ya sea directamente, asumiendo que Q es verdadero y demostrando que el círculo Q está ubicado dentro de P, o
en contraposición , eso demuestra que saliendo del círculo de P, caemos fuera del Q : suponiendo que no P, no Q resultados .

Esto prueba que los círculos de Q y P coinciden en los diagramas de Venn anteriores.

Debido a que, como se explica en la sección anterior, la necesidad de una por la otra es equivalente a la suficiencia de la otra para la primera, por ejemplo, es equivalente a , si P es necesaria y suficiente para Q , entonces Q es necesaria y suficiente para P . Podemos escribir y decir que los enunciados " P es verdadero si y solo si Q , es verdadero" y " Q es verdadero si y solo si P es verdadero" son equivalentes. ${\ Displaystyle P \ Leftarrow Q}$ ${\ Displaystyle Q \ Rightarrow P}$ ${\ Displaystyle P \ Flecha izquierda Q \ equiv Q \ Flecha izquierda P}$

Ver también [ editar ]

Causalidad
Concepto cerrado
Implicación material (desambiguación)
Principio de razón suficiente
Tarea de selección de Wason

Formas de argumentación que implican condiciones necesarias y suficientes [ editar ]

Formas válidas de argumentación [ editar ]

Modus ponens

P1) Si A entonces B

P2) A

C) Por lo tanto B

Modus tollens

P1) Si A entonces B

P2) No-B

C) Por lo tanto, no-A

Silogismo hipotético

P1) Si A entonces B

P2) Si B entonces C

C) Por lo tanto, si A entonces C

Silogismo disyuntivo

P1) A o B

P2) No-A (o No-B)

C) Por lo tanto B (o A)

Dilema constructivo

P1) A o B

P2) Si A entonces C

P3) Si B entonces D

C) Por lo tanto C o D

Formas de argumento no válidas (es decir, falacias) [ editar ]

Afirmando el consecuente
Negando el antecedente

Referencias [ editar ]

^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - necesidad" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
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Enlaces externos [ editar ]

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Necesidad y suficiencia .

Tutorial web de pensamiento crítico: condiciones necesarias y suficientes
Universidad Simon Fraser: conceptos con ejemplos

[1] "El glosario definitivo de jerga matemática superior - necesidad" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .

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[3] Bloch, Ethan D. (2011). Pruebas y fundamentos: primer curso de matemática abstracta . Saltador. págs. 8–9. ISBN 978-1-4419-7126-5.

[4] Confusión de lo necesario (15 de mayo de 2019). "Confusión de lo necesario con una condición suficiente" . www.txstate.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .

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[betz-6] Betz, Frederick (2011). Gestión de la ciencia: metodología y organización de la investigación . Nueva York: Springer. pag. 247. ISBN 978-1-4419-7487-7.

[Manktelow-7] Manktelow, KI (1999). Razonamiento y pensamiento . East Sussex, Reino Unido: Psychology Press. ISBN 0-86377-708-2.

[asnina-8] Asnina, Erika; Osis, Janis y Jansone, Asnate (2013). "Especificación formal de relaciones topológicas". Bases de datos y sistemas de información VII . 249 (Bases de datos y sistemas de información VII): 175. doi : 10.3233 / 978-1-61499-161-8-175 .

[9] Devlin, Keith (2004), Conjuntos, funciones y lógica / Introducción a las matemáticas abstractas (3ª ed.), Chapman y Hall, págs. 22-23, ISBN 978-1-58488-449-1

[:2-10] "El concepto de condiciones necesarias y condiciones suficientes" . www.sfu.ca . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .

[stan-11] Cartilla de la Universidad de Stanford, 2006 .

[12] "Los significados, en este sentido, a menudo se denominan intensiones , y las cosas designadas, extensiones . Los contextos en los que la extensión es lo único que importa se llaman, naturalmente, extensionales , mientras que los contextos en los que la extensión no es suficiente son intensionales . . " Cartilla de la Universidad de Stanford, 2006 .

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