Independencia lineal

En la teoría de los espacios vectoriales , se dice que un conjunto de vectores eslinealmente dependiente si hay unacombinación linealno trivialde los vectores que es igual al vector cero. Si no existe tal combinación lineal, entonces se dice que los vectores sonlinealmente independientes . Estos conceptos son fundamentales para la definición dedimensión. ^[1]

Un espacio vectorial puede ser de dimensión finita o infinita dependiendo del número máximo de vectores linealmente independientes. La definición de dependencia lineal y la capacidad de determinar si un subconjunto de vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente son fundamentales para determinar la dimensión de un espacio vectorial.

Se dice que una secuencia de vectores de un espacio vectorial V es linealmente dependiente , si existen escalares no todos cero, de modo que${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ dots, \ mathbf {v} _ {k}}$ ${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {k},}$

donde denota el vector cero.${\ Displaystyle \ mathbf {0}}$

Esto implica que al menos uno de los escalares es distinto de cero, digamos , y la ecuación anterior se puede escribir como${\ Displaystyle a_ {1} \ neq 0}$

si y si${\ Displaystyle k> 1,}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle k = 0.}$

Vectores linealmente independientes en ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Vectores linealmente dependientes en un plano en ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}$