En matemáticas, álgebras A , B sobre un campo k dentro de alguna extensión de campode k se dice que son linealmente disjuntos sobre k si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:
- (i) El mapa Inducido por es inyectable.
- (ii) cualquier k -basis de A permanece sobre linealmente independientes B .
- (iii) Si son bases k para A , B , luego los productosson linealmente independientes sobre k .
Tenga en cuenta que, dado que cada subálgebra de es un dominio, (i) implica es un dominio (en particular reducido ). A la inversa, si A y B son los campos y, o bien A o B es una extensión algebraica de k yes un dominio, entonces es un campo y A y B son linealmente disjuntos. Sin embargo, hay ejemplos en los quees un dominio pero A y B no son linealmente disjuntos: por ejemplo, A = B = k ( t ), el campo de funciones racionales sobre k .
Uno también tiene: A , B son linealmente disjuntos sobre k si y solo si los subcampos de generado por , resp. son linealmente disjuntos sobre k . (cf. producto tensorial de campos )
Suponga que A , B son linealmente disjuntos sobre k . Si, son subálgebras, entonces y son linealmente disjuntos sobre k . Por el contrario, si alguna subálgebra de álgebras A , B generada de forma finita es linealmente disjunta, entonces A , B son linealmente disjuntos (ya que la condición involucra solo conjuntos finitos de elementos).
Ver también
Referencias
- PM Cohn (2003). Álgebra básica