En teoría de anillos , un anillo R se llama anillo reducido si no tiene elementos nilpotentes distintos de cero . De manera equivalente, un anillo se reduce si no tiene elementos distintos de cero con cuadrado cero, es decir, x 2 = 0 implica x = 0. Un álgebra conmutativa sobre un anillo conmutativo se llama álgebra reducida si su anillo subyacente es reducido.
Los elementos nilpotentes de un anillo conmutativo R forman un ideal de R , llamado nilradical de R ; por lo tanto, un anillo conmutativo se reduce si y solo si su radical nulo es cero. Además, un anillo conmutativo se reduce si y solo si el único elemento contenido en todos los ideales primos es cero.
Un anillo cociente R / I se reduce si y solo si I es un ideal radical .
Deje D el conjunto de todos los zerodivisors en un anillo reducida R . Entonces D es la unión de todos los ideales primos mínimos . [1]
Sobre un anillo noetheriano R , decimos que un módulo M generado finita tiene rango localmente constante sies una función localmente constante (o equivalentemente continua) en Spec R . Entonces R se reduce si y solo si cada módulo de rango constante localmente generado de forma finita es proyectivo . [2]
Ejemplos y no ejemplos
- Los subanillos , productos y localizaciones de anillos reducidos son nuevamente anillos reducidos.
- El anillo de números enteros Z es un anillo reducido. Cada campo y cada anillo polinomial sobre un campo (en arbitrariamente muchas variables) es un anillo reducido.
- De manera más general, todo dominio integral es un anillo reducido, ya que un elemento nilpotente es a fortiori un divisor de cero . Por otro lado, no todo anillo reducido es un dominio integral. Por ejemplo, el anillo Z [ x , y ] / ( xy ) contiene x + (xy) e y + (xy) como divisores cero, pero no elementos nilpotentes distintos de cero. Como otro ejemplo, el anillo Z × Z contiene (1,0) y (0,1) como divisores cero, pero no contiene elementos nilpotentes distintos de cero.
- El anillo Z / 6 Z se reduce, sin embargo Z / 4 Z no se reduce: La clase 2 + 4 Z es nilpotente. En general, Z / n Z se reduce si y solo si n = 0 o n es un número entero libre de cuadrados .
- Si R es un anillo conmutativo y N es el nilradical de R , entonces el anillo cociente R / N se reduce.
- Un anillo conmutativo R de característica p para algún número primo p se reduce si y solo si su endomorfismo de Frobenius es inyectivo . (cf. campo perfecto ).
Generalizaciones
Los anillos reducidos juegan un papel elemental en la geometría algebraica , donde este concepto se generaliza al concepto de esquema reducido .
Ver también
Notas
- ^ Prueba: dejar ser todos los ideales primos mínimos (posiblemente cero).
- Deje x ser en D . Entonces xy = 0 para algún y distinto de cero . Como R se reduce, (0) es la intersección de todos y por lo tanto y no está en algunos . Dado que xy está en todos ; en particular, en , x está en .
- (robado de Kaplansky, anillos conmutativos, teorema 84). Dejamos caer el subíndice i . Dejar . S es multiplicativamente cerrado, por lo que podemos considerar la localización . Dejar ser la imagen previa de un ideal máximo. Luego está contenido tanto en D como en y por minimidad . (Esta dirección es inmediata si R es noetheriano según la teoría de los números primos asociados ).
- ^ Eisenbud , ejercicio 20.13.
Referencias
- N. Bourbaki , Álgebra conmutativa , Hermann Paris 1972, Cap. II, párrafo 2.7
- N. Bourbaki , Álgebra , Springer 1990, Cap. V, § 6.7
- Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con una visión hacia la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .